Вопросы после параграфа §13 на странице 105, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа

Степенью положительного числа \(a\) с рациональным показателем \(r\), представленным в виде \(\frac{m}{n}\), где \(m \in \mathbf{Z}\), \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют число \(\sqrt[n]{a^m}\): \[a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.\]

Например, \(5^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{5^3}\), \(3^{-\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{3^{-1}}\), \(0{,}4^{0{,}3} = 0{,}4^{\frac{3}{10}} = \sqrt[10]{0{,}4^3}\).

Значение степени не зависит от того, какой дробью записано число \(r\), потому что \(a^{\frac{mk}{nk}} = \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}\).

Для отрицательного основания такая степень не определяется. Если бы, например, считали \(\sqrt[3]{-2} = (-2)^{\frac{1}{3}}\), то получилось бы \((-2)^{\frac{1}{3}} = (-2)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{4}\), то есть отрицательное число равнялось бы положительному.

Ответ: число \(\sqrt[n]{a^m}\), то есть \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) при \(a > 0\).

Степень числа 0 определяют только для положительного рационального показателя, и она равна нулю: \[0^{\frac{m}{n}} = 0,\ \text{где } m \in \mathbf{N},\ n \in \mathbf{N}.\]

Например, \(0^{\frac{2}{5}} = 0\), \(0^{1{,}7} = 0\). При отрицательном показателе запись смысла не имеет: \(0^{-\frac{1}{2}}\) означало бы \(\frac{1}{0^{\frac{1}{2}}}\), то есть деление на нуль.

Ответ: нуль: \(0^{\frac{m}{n}} = 0\), где \(m \in \mathbf{N}\), \(n \in \mathbf{N}\).

Для любого \(a > 0\) и любых рациональных чисел \(p\) и \(q\) выполняются равенства:

произведение степеней — \(a^p \cdot a^q = a^{p+q}\), и, как следствие, \(a^{-p} = \frac{1}{a^p}\);

частное степеней — \(a^p : a^q = a^{p-q}\);

степень степени — \(\left(a^p\right)^q = a^{pq}\).

Для любых \(a > 0\) и \(b > 0\) и любого рационального числа \(p\) выполняются равенства: степень произведения — \((ab)^p = a^p b^p\); степень частного — \(\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}\).

Например, \(3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^2 = 9\), \(\left(5^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 5^1 = 5\), \((4 \cdot 9)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 6\).

Ответ: при \(a > 0\), \(b > 0\) и любых рациональных \(p\) и \(q\): \(a^p \cdot a^q = a^{p+q}\); \(a^p : a^q = a^{p-q}\); \(\left(a^p\right)^q = a^{pq}\); \((ab)^p = a^p b^p\); \(\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}\).

Степенной функцией с рациональным показателем называют функцию, которую можно задать формулой \(y = x^r\), где \(r \in \mathbf{Q}\).

Если несократимая дробь \(\frac{m}{n}\), где \(m \in \mathbf{Z}\), \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), положительна, то областью определения функции \(y = x^{\frac{m}{n}}\) является промежуток \([0;\ +\infty)\), а если эта дробь отрицательна — промежуток \((0;\ +\infty)\). Так, \(y = x^{\frac{5}{6}}\) определена на \([0;\ +\infty)\), а \(y = x^{-\frac{5}{6}}\) — на \((0;\ +\infty)\).

Функция \(y = x^{\frac{1}{2k}}\), \(k \in \mathbf{N}\), ничем не отличается от функции \(y = \sqrt[2k]{x}\), а функции \(y = x^{\frac{1}{2k+1}}\) и \(y = \sqrt[2k+1]{x}\) имеют разные области определения: они совпадают только на промежутке \([0;\ +\infty)\), а на промежутке \((-\infty;\ 0)\) определена лишь вторая из них.

Ответ: функцию, которую можно задать формулой \(y = x^r\), где \(r\) — рациональное число.