Страница 98 номер 12.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\left(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}\right)\left(1 - \sqrt[3]{a}\right)\); 2) \(\left(1 + \sqrt{a}\right)\left(1 + \sqrt[4]{a}\right)\left(1 - \sqrt[4]{a}\right)\).
1) Выражение имеет смысл при всех \(a\): корень третьей степени существует из любого числа.
Равенство \(\sqrt[3]{a^2} = \left(\sqrt[3]{a}\right)^2\) верно при любом \(a\): при \(a \geqslant 0\) это теорема о степени корня, а при \(a < 0\) имеем \(\sqrt[3]{a} = -\sqrt[3]{-a}\), где \(-a > 0\), и \[\left(\sqrt[3]{a}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{-a}\right)^2 = \sqrt[3]{(-a)^2} = \sqrt[3]{a^2}.\]
По формуле \((1 - t)\left(1 + t + t^2\right) = 1 - t^3\) при \(t = \sqrt[3]{a}\): \[\left(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}\right)\left(1 - \sqrt[3]{a}\right) = 1 - \left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = 1 - a.\]
2) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\); \(\left(\sqrt[4]{a}\right)^2 = \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}\), поэтому \[\left(1 + \sqrt[4]{a}\right)\left(1 - \sqrt[4]{a}\right) = 1 - \left(\sqrt[4]{a}\right)^2 = 1 - \sqrt{a}.\]
Всё произведение равно \(\left(1 + \sqrt{a}\right)\left(1 - \sqrt{a}\right) = 1 - \left(\sqrt{a}\right)^2 = 1 - a\).
Ответ: 1) \(1 - a\); 2) \(1 - a\).
Упростите выражение: 1) \(\left(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}\right)\left(1 - \sqrt[3]{a}\right)\); 2) \(\left(1 + \sqrt{a}\right)\left(1 + \sqrt[4]{a}\right)\left(1 - \sqrt[4]{a}\right)\).
1) Корень третьей степени существует при любом \(a\), поэтому выражение имеет смысл при всех \(a\).
Равенство \(\sqrt[3]{a^2} = \left(\sqrt[3]{a}\right)^2\) верно при любом \(a\): при \(a \geqslant 0\) это теорема о степени корня, а при \(a < 0\) имеем \(\sqrt[3]{a} = -\sqrt[3]{-a}\), где \(-a > 0\), и потому \[\left(\sqrt[3]{a}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{-a}\right)^2 = \sqrt[3]{(-a)^2} = \sqrt[3]{a^2}.\]
Применим формулу \((1 - t)\left(1 + t + t^2\right) = 1 - t^3\) при \(t = \sqrt[3]{a}\): \[\left(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}\right)\left(1 - \sqrt[3]{a}\right) = 1 - \left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = 1 - a.\]
2) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\). По теореме о степени корня \(\left(\sqrt[4]{a}\right)^2 = \sqrt[4]{a^2}\), а по теореме о корне из степени показатели сокращаются на 2: \(\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}\). Поэтому \[\left(1 + \sqrt[4]{a}\right)\left(1 - \sqrt[4]{a}\right) = 1 - \left(\sqrt[4]{a}\right)^2 = 1 - \sqrt{a}.\]
Значит, всё произведение равно \(\left(1 + \sqrt{a}\right)\left(1 - \sqrt{a}\right) = 1 - \left(\sqrt{a}\right)^2 = 1 - a\).
Ответ: 1) \(1 - a\); 2) \(1 - a\).
