Страница 98 номер 12.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Выражение имеет смысл при \(m \geqslant 0\) и \(n \geqslant 0\).

По теореме о степени корня \(\left(\sqrt[8]{m}\right)^2 = \sqrt[8]{m^2}\), а по теореме о корне из степени показатели сокращаются на 2: \(\sqrt[8]{m^2} = \sqrt[4]{m}\); так же \(\left(\sqrt[8]{n}\right)^2 = \sqrt[4]{n}\). Поэтому произведение двух последних скобок равно \[\left(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n}\right)\left(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n}\right) = \left(\sqrt[8]{m}\right)^2 - \left(\sqrt[8]{n}\right)^2 = \sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}.\]

Точно так же \(\left(\sqrt[4]{m}\right)^2 = \sqrt{m}\) и \(\left(\sqrt[4]{n}\right)^2 = \sqrt{n}\), поэтому \[\left(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}\right)\left(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}\right) = \sqrt{m} - \sqrt{n}.\]

Остаётся перемножить первую скобку с полученной разностью: \[\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{m} - \sqrt{n}\right) = \left(\sqrt{m}\right)^2 - \left(\sqrt{n}\right)^2 = m - n.\]

Ответ: \(m - n\).