Страница 98 номер 12.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\); 2) \(\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}\); 3) \(\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}\); 4) \(\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}\).
1) \(3\sqrt{3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27}\), поэтому \[\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{27}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt{3}.\]
2) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(b \geqslant 0\); тогда \(b\sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b^5}\), откуда \[\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^5}} = \sqrt[12]{b^5}.\]
3) Корень шестой степени существует, поэтому \(x^{13} \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 0\); тогда \(x^2\sqrt[6]{x^{13}} = \sqrt[6]{x^{12}} \cdot \sqrt[6]{x^{13}} = \sqrt[6]{x^{25}}\), откуда \[\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{x^{25}}} = \sqrt[30]{x^{25}} = \sqrt[30]{\left(x^5\right)^5} = \sqrt[6]{x^5}.\]
4) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(a \geqslant 0\).
Изнутри: \(a\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^4}\), средний корень равен \(\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[12]{a^4} = \sqrt[3]{a}\), и подкоренное выражение внешнего корня снова равно \(a\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^4}\): \[\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[12]{a^4} = \sqrt[3]{a}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt{3}\); 2) \(\sqrt[12]{b^5}\); 3) \(\sqrt[6]{x^5}\); 4) \(\sqrt[3]{a}\).
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\); 2) \(\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}\); 3) \(\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}\); 4) \(\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}\).
1) Внесём множитель 3 под знак внутреннего корня: \(3\sqrt{3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27}\). Тогда \[\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{27}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt{3}.\]
Последний переход — сокращение показателей на 3 у корня из степени неотрицательного числа.
2) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(b \geqslant 0\). Тогда \(b\sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b^5}\), откуда \[\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^5}} = \sqrt[12]{b^5}.\]
3) Корень шестой степени существует, поэтому \(x^{13} \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 0\). Тогда \(x^2 = \sqrt[6]{x^{12}}\) и \(x^2\sqrt[6]{x^{13}} = \sqrt[6]{x^{12}} \cdot \sqrt[6]{x^{13}} = \sqrt[6]{x^{25}}\), откуда \[\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{x^{25}}} = \sqrt[30]{x^{25}} = \sqrt[30]{\left(x^5\right)^5} = \sqrt[6]{x^5}.\]
4) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(a \geqslant 0\).
Упрощаем выражение изнутри: \(a\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^4}\), поэтому средний корень равен \(\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[12]{a^4} = \sqrt[3]{a}\).
Подкоренное выражение внешнего корня снова равно \(a\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^4}\), значит, \[\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[12]{a^4} = \sqrt[3]{a}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt{3}\); 2) \(\sqrt[12]{b^5}\); 3) \(\sqrt[6]{x^5}\); 4) \(\sqrt[3]{a}\).
