Страница 98 номер 12.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}\); 2) \(\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}}\); 3) \(\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}\); 4) \(\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\).
1) \(3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{54}\), поэтому \[\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[9]{54}.\]
2) Корень шестой степени существует, поэтому \(b \geqslant 0\); тогда \(b\sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{b^7}\), откуда \[\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^7}} = \sqrt[30]{b^7}.\]
3) При \(x \geqslant 0\) множители \(x^3\) и \(\sqrt[3]{x^7}\) неотрицательны, при \(x < 0\) оба отрицательны, поэтому их произведение неотрицательно и корень восьмой степени существует при любом \(x\).
При любом \(x\) верно \(x^3 = \sqrt[3]{x^9}\). При \(x \geqslant 0\) выражения \(x^9\) и \(x^7\) неотрицательны и \(\sqrt[3]{x^9} \cdot \sqrt[3]{x^7} = \sqrt[3]{x^{16}}\); при \(x < 0\) они отрицательны, и то же даёт следствие для неположительных множителей: \[\sqrt[3]{x^{16}} = \sqrt[3]{x^9 \cdot x^7} = \sqrt[3]{-x^9} \cdot \sqrt[3]{-x^7} = \sqrt[3]{x^9} \cdot \sqrt[3]{x^7}.\]
Значит, \(x^3\sqrt[3]{x^7} = \sqrt[3]{x^{16}}\) при любом \(x\), и, так как \(x^2 \geqslant 0\), \[\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}} = \sqrt[24]{x^{16}} = \sqrt[24]{\left(x^2\right)^8} = \sqrt[3]{x^2}.\]
4) \(2\sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8}\), \(\sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}\), \(2\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{128}\), поэтому \[\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[12]{128}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt[9]{54}\); 2) \(\sqrt[30]{b^7}\); 3) \(\sqrt[3]{x^2}\); 4) \(\sqrt[12]{128}\).
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}\); 2) \(\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}}\); 3) \(\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}\); 4) \(\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\).
1) Внесём множитель 3 под знак внутреннего корня: \(3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{54}\). Число 54 положительно, поэтому по теореме о корне из корня \[\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[9]{54}.\]
2) Корень шестой степени существует, поэтому \(b \geqslant 0\). Тогда \(b = \sqrt[6]{b^6}\) и \(b\sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{b^7}\), откуда \[\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^7}} = \sqrt[30]{b^7}.\]
3) При \(x \geqslant 0\) множители \(x^3\) и \(\sqrt[3]{x^7}\) неотрицательны, при \(x < 0\) оба отрицательны, поэтому их произведение неотрицательно при любом \(x\) и корень восьмой степени существует при любом \(x\).
Заметим, что \(x^3 = \sqrt[3]{x^9}\) при любом \(x\). При \(x \geqslant 0\) подкоренные выражения \(x^9\) и \(x^7\) неотрицательны, и по теореме о корне из произведения \(\sqrt[3]{x^9} \cdot \sqrt[3]{x^7} = \sqrt[3]{x^{16}}\). При \(x < 0\) они отрицательны, и то же равенство получается по следствию для неположительных множителей: \[\sqrt[3]{x^{16}} = \sqrt[3]{x^9 \cdot x^7} = \sqrt[3]{-x^9} \cdot \sqrt[3]{-x^7} = \sqrt[3]{x^9} \cdot \sqrt[3]{x^7}.\]
Значит, при любом \(x\) имеем \(x^3\sqrt[3]{x^7} = \sqrt[3]{x^{16}}\), и, так как \(x^2 \geqslant 0\), \[\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}} = \sqrt[24]{x^{16}} = \sqrt[24]{\left(x^2\right)^8} = \sqrt[3]{x^2}.\]
4) Последовательно вносим множители под знаки корней: \(2\sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8}\), затем \(\sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}\) и \(2\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{128}\). Все подкоренные выражения положительны, поэтому \[\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[12]{128}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt[9]{54}\); 2) \(\sqrt[30]{b^7}\); 3) \(\sqrt[3]{x^2}\); 4) \(\sqrt[12]{128}\).
