Страница 98 номер 12.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Внесите множитель под знак корня: 1) \(0{,}25\sqrt[3]{320}\); 2) \(2\sqrt[4]{7}\); 3) \(5\sqrt[4]{4a}\); 4) \(2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3}\).
1) \(0{,}25 = \sqrt[3]{0{,}25^3}\): \[0{,}25\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{0{,}015625} \cdot \sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{0{,}015625 \cdot 320} = \sqrt[3]{5}.\]
2) \(2 = \sqrt[4]{2^4}\): \[2\sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112}.\]
3) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(4a \geqslant 0\), то есть \(a \geqslant 0\); множитель \(5 = \sqrt[4]{5^4}\), и \[5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a}.\]
4) Корень пятой степени существует при любом \(x\), и \(2x^3 = \sqrt[5]{\left(2x^3\right)^5} = \sqrt[5]{32x^{15}}\) при любом \(x\) — два случая.
Если \(x \geqslant 0\), то \(32x^{15} \geqslant 0\) и \(0{,}25x^3 \geqslant 0\): \[2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3} = \sqrt[5]{32x^{15}} \cdot \sqrt[5]{0{,}25x^3} = \sqrt[5]{32 \cdot 0{,}25 \cdot x^{18}} = \sqrt[5]{8x^{18}}.\]
Если \(x < 0\), то \(32x^{15} < 0\) и \(0{,}25x^3 < 0\), и по следствию для неположительных множителей \[\sqrt[5]{8x^{18}} = \sqrt[5]{32x^{15} \cdot 0{,}25x^3} = \sqrt[5]{-32x^{15}} \cdot \sqrt[5]{-0{,}25x^3} = \left(-\sqrt[5]{32x^{15}}\right)\left(-\sqrt[5]{0{,}25x^3}\right) = 2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3}.\]
В обоих случаях \(2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3} = \sqrt[5]{8x^{18}}\).
Ответ: 1) \(\sqrt[3]{5}\); 2) \(\sqrt[4]{112}\); 3) \(\sqrt[4]{2500a}\); 4) \(\sqrt[5]{8x^{18}}\).
Внесите множитель под знак корня: 1) \(0{,}25\sqrt[3]{320}\); 2) \(2\sqrt[4]{7}\); 3) \(5\sqrt[4]{4a}\); 4) \(2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3}\).
1) Множитель \(0{,}25\) положителен, поэтому \(0{,}25 = \sqrt[3]{0{,}25^3}\), и \[0{,}25\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{0{,}015625} \cdot \sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{0{,}015625 \cdot 320} = \sqrt[3]{5}.\]
2) Множитель 2 положителен, поэтому \(2 = \sqrt[4]{2^4}\), и \[2\sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112}.\]
3) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(4a \geqslant 0\), то есть \(a \geqslant 0\). Множитель 5 положителен, значит, \(5 = \sqrt[4]{5^4}\), и \[5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a}.\]
4) Корень пятой степени существует при любом \(x\), а \(2x^3 = \sqrt[5]{\left(2x^3\right)^5} = \sqrt[5]{32x^{15}}\) при любом \(x\). Рассмотрим два случая.
Если \(x \geqslant 0\), то \(32x^{15} \geqslant 0\) и \(0{,}25x^3 \geqslant 0\), поэтому \[2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3} = \sqrt[5]{32x^{15}} \cdot \sqrt[5]{0{,}25x^3} = \sqrt[5]{32 \cdot 0{,}25 \cdot x^{18}} = \sqrt[5]{8x^{18}}.\]
Если \(x < 0\), то \(32x^{15} < 0\) и \(0{,}25x^3 < 0\), и по следствию из теоремы о корне из произведения для неположительных множителей \[\sqrt[5]{8x^{18}} = \sqrt[5]{32x^{15} \cdot 0{,}25x^3} = \sqrt[5]{-32x^{15}} \cdot \sqrt[5]{-0{,}25x^3} = \left(-\sqrt[5]{32x^{15}}\right)\left(-\sqrt[5]{0{,}25x^3}\right) = 2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3}.\]
В обоих случаях \(2x^3\sqrt[5]{0{,}25x^3} = \sqrt[5]{8x^{18}}\).
Ответ: 1) \(\sqrt[3]{5}\); 2) \(\sqrt[4]{112}\); 3) \(\sqrt[4]{2500a}\); 4) \(\sqrt[5]{8x^{18}}\).
