Страница 98 номер 12.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Внесите множитель под знак корня: 1) \(4\sqrt[3]{5}\); 2) \(-10\sqrt[4]{0{,}271}\); 3) \(5\sqrt[3]{0{,}04x}\); 4) \(b\sqrt[5]{3b^3}\).
1) \(4 = \sqrt[3]{4^3}\): \[4\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{320}.\]
2) Вносимый множитель отрицателен, поэтому перед корнем остаётся минус, а под корень вносится число 10: \[-10\sqrt[4]{0{,}271} = -\sqrt[4]{10^4} \cdot \sqrt[4]{0{,}271} = -\sqrt[4]{10\,000 \cdot 0{,}271} = -\sqrt[4]{2710}.\]
3) Корень третьей степени существует при любом \(x\) — два случая.
Если \(x \geqslant 0\), то \(0{,}04x \geqslant 0\) и \[5\sqrt[3]{0{,}04x} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{0{,}04x} = \sqrt[3]{125 \cdot 0{,}04x} = \sqrt[3]{5x}.\]
Если \(x < 0\), то \(5x < 0\) и \(-5x = 125 \cdot (-0{,}04x)\), где оба множителя положительны, поэтому \[\sqrt[3]{5x} = -\sqrt[3]{-5x} = -\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{-0{,}04x} = -5 \cdot \left(-\sqrt[3]{0{,}04x}\right) = 5\sqrt[3]{0{,}04x}.\]
В обоих случаях \(5\sqrt[3]{0{,}04x} = \sqrt[3]{5x}\).
4) Корень пятой степени существует при любом \(b\), и \(b = \sqrt[5]{b^5}\) при любом \(b\) — два случая.
Если \(b \geqslant 0\), то \(b^5 \geqslant 0\) и \(3b^3 \geqslant 0\): \[b\sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{b^5} \cdot \sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{b^5 \cdot 3b^3} = \sqrt[5]{3b^8}.\]
Если \(b < 0\), то \(b^5 < 0\) и \(3b^3 < 0\), и по следствию для неположительных множителей \[\sqrt[5]{3b^8} = \sqrt[5]{b^5 \cdot 3b^3} = \sqrt[5]{-b^5} \cdot \sqrt[5]{-3b^3} = \left(-\sqrt[5]{b^5}\right)\left(-\sqrt[5]{3b^3}\right) = b\sqrt[5]{3b^3}.\]
В обоих случаях \(b\sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{3b^8}\).
Ответ: 1) \(\sqrt[3]{320}\); 2) \(-\sqrt[4]{2710}\); 3) \(\sqrt[3]{5x}\); 4) \(\sqrt[5]{3b^8}\).
Внесите множитель под знак корня: 1) \(4\sqrt[3]{5}\); 2) \(-10\sqrt[4]{0{,}271}\); 3) \(5\sqrt[3]{0{,}04x}\); 4) \(b\sqrt[5]{3b^3}\).
1) Множитель 4 положителен, поэтому \(4 = \sqrt[3]{4^3}\), и \[4\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{320}.\]
2) Вносимый множитель отрицателен, поэтому перед корнем остаётся минус, а под корень вносится число 10: \[-10\sqrt[4]{0{,}271} = -\sqrt[4]{10^4} \cdot \sqrt[4]{0{,}271} = -\sqrt[4]{10\,000 \cdot 0{,}271} = -\sqrt[4]{2710}.\]
3) Корень третьей степени существует при любом \(x\), поэтому рассмотрим два случая.
Если \(x \geqslant 0\), то \(0{,}04x \geqslant 0\) и \[5\sqrt[3]{0{,}04x} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{0{,}04x} = \sqrt[3]{125 \cdot 0{,}04x} = \sqrt[3]{5x}.\]
Если \(x < 0\), то \(5x < 0\) и \(-5x = 125 \cdot (-0{,}04x)\), где оба множителя положительны, поэтому \[\sqrt[3]{5x} = -\sqrt[3]{-5x} = -\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{-0{,}04x} = -5 \cdot \left(-\sqrt[3]{0{,}04x}\right) = 5\sqrt[3]{0{,}04x}.\]
В обоих случаях \(5\sqrt[3]{0{,}04x} = \sqrt[3]{5x}\).
4) Корень пятой степени существует при любом \(b\), а \(b = \sqrt[5]{b^5}\) при любом \(b\). Рассмотрим два случая.
Если \(b \geqslant 0\), то \(b^5 \geqslant 0\) и \(3b^3 \geqslant 0\), поэтому \[b\sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{b^5} \cdot \sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{b^5 \cdot 3b^3} = \sqrt[5]{3b^8}.\]
Если \(b < 0\), то \(b^5 < 0\) и \(3b^3 < 0\), и по следствию из теоремы о корне из произведения для неположительных множителей \[\sqrt[5]{3b^8} = \sqrt[5]{b^5 \cdot 3b^3} = \sqrt[5]{-b^5} \cdot \sqrt[5]{-3b^3} = \left(-\sqrt[5]{b^5}\right)\left(-\sqrt[5]{3b^3}\right) = b\sqrt[5]{3b^3}.\]
В обоих случаях \(b\sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{3b^8}\).
Ответ: 1) \(\sqrt[3]{320}\); 2) \(-\sqrt[4]{2710}\); 3) \(\sqrt[3]{5x}\); 4) \(\sqrt[5]{3b^8}\).
