Страница 98 номер 12.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{80}\); 2) \(\sqrt[3]{432}\); 3) \(\sqrt[3]{54y^8}\); 4) \(\sqrt[4]{243b^9c^{18}}\).
1) \[\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}.\]
2) \[\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{216 \cdot 2} = \sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}.\]
3) Множители \(27y^6\) и \(2y^2\) неотрицательны при любом \(y\):
\[\sqrt[3]{54y^8} = \sqrt[3]{27y^6 \cdot 2y^2} = \sqrt[3]{\left(3y^2\right)^3} \cdot \sqrt[3]{2y^2} = 3y^2\sqrt[3]{2y^2}.\]
4) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(243b^9c^{18} \geqslant 0\); так как \(c^{18} \geqslant 0\), при \(c \ne 0\) отсюда \(b \geqslant 0\), а при \(c = 0\) и подкоренное выражение, и результат равны нулю при любом \(b\). Значит, \(b \geqslant 0\), тогда \(3bc^2 \geqslant 0\) и
\[\sqrt[4]{243b^9c^{18}} = \sqrt[4]{81b^8c^{16} \cdot 3bc^2} = \sqrt[4]{\left(3b^2c^4\right)^4} \cdot \sqrt[4]{3bc^2} = \left|3b^2c^4\right|\sqrt[4]{3bc^2} = 3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}.\]
Ответ: 1) \(2\sqrt[4]{5}\); 2) \(6\sqrt[3]{2}\); 3) \(3y^2\sqrt[3]{2y^2}\); 4) \(3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}\).
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{80}\); 2) \(\sqrt[3]{432}\); 3) \(\sqrt[3]{54y^8}\); 4) \(\sqrt[4]{243b^9c^{18}}\).
1) Оба множителя под корнем положительны, поэтому
\[\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}.\]
2) Оба множителя под корнем положительны, поэтому
\[\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{216 \cdot 2} = \sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}.\]
3) Множители \(27y^6\) и \(2y^2\) неотрицательны при любом \(y\), поэтому применима теорема о корне из произведения:
\[\sqrt[3]{54y^8} = \sqrt[3]{27y^6 \cdot 2y^2} = \sqrt[3]{\left(3y^2\right)^3} \cdot \sqrt[3]{2y^2} = 3y^2\sqrt[3]{2y^2}.\]
4) Корень четвёртой степени существует, поэтому \(243b^9c^{18} \geqslant 0\). Так как \(c^{18} \geqslant 0\), при \(c \ne 0\) отсюда следует, что \(b \geqslant 0\), а при \(c = 0\) и подкоренное выражение, и результат равны нулю при любом \(b\). Значит, считаем, что \(b \geqslant 0\); тогда \(3bc^2 \geqslant 0\) и
\[\sqrt[4]{243b^9c^{18}} = \sqrt[4]{81b^8c^{16} \cdot 3bc^2} = \sqrt[4]{\left(3b^2c^4\right)^4} \cdot \sqrt[4]{3bc^2} = \left|3b^2c^4\right|\sqrt[4]{3bc^2} = 3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}.\]
Ответ: 1) \(2\sqrt[4]{5}\); 2) \(6\sqrt[3]{2}\); 3) \(3y^2\sqrt[3]{2y^2}\); 4) \(3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}\).
