Страница 98 номер 12.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{162}\); 2) \(\sqrt[3]{250}\); 3) \(\sqrt[3]{-a^7}\); 4) \(\sqrt[3]{-54a^5b^9}\).
1) \[\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}.\]
2) \[\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}.\]
3) Корень третьей степени существует при любом \(a\), знак \(a\) не задан — два случая.
Если \(a \geqslant 0\), то \(-a^7 = -\left(a^2\right)^3 \cdot a\), где \(\left(a^2\right)^3 \geqslant 0\) и \(a \geqslant 0\); вынося минус из-под знака корня нечётной степени, \[\sqrt[3]{-a^7} = -\sqrt[3]{\left(a^2\right)^3 \cdot a} = -\sqrt[3]{\left(a^2\right)^3} \cdot \sqrt[3]{a} = -a^2\sqrt[3]{a}.\]
Если \(a < 0\), то \(-a^7 = \left(a^2\right)^3 \cdot (-a)\), где \(\left(a^2\right)^3 > 0\) и \(-a > 0\), поэтому \[\sqrt[3]{-a^7} = \sqrt[3]{\left(a^2\right)^3} \cdot \sqrt[3]{-a} = a^2\sqrt[3]{-a} = -a^2\sqrt[3]{a}.\]
В обоих случаях \(\sqrt[3]{-a^7} = -a^2\sqrt[3]{a}\).
4) \(-54a^5b^9 = \left(-3ab^3\right)^3 \cdot 2a^2\), где \(2a^2 \geqslant 0\) при любом \(a\); знак \(-3ab^3\) не задан — два случая.
Если \(-3ab^3 \geqslant 0\), оба множителя под корнем неотрицательны: \[\sqrt[3]{-54a^5b^9} = \sqrt[3]{\left(-3ab^3\right)^3} \cdot \sqrt[3]{2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}.\]
Если \(-3ab^3 < 0\), то \(3ab^3 > 0\), и, вынося минус из-под знака корня нечётной степени, получаем тот же результат: \[\sqrt[3]{-54a^5b^9} = -\sqrt[3]{\left(3ab^3\right)^3 \cdot 2a^2} = -\sqrt[3]{\left(3ab^3\right)^3} \cdot \sqrt[3]{2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}.\]
Ответ: 1) \(3\sqrt[4]{2}\); 2) \(5\sqrt[3]{2}\); 3) \(-a^2\sqrt[3]{a}\); 4) \(-3ab^3\sqrt[3]{2a^2}\).
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{162}\); 2) \(\sqrt[3]{250}\); 3) \(\sqrt[3]{-a^7}\); 4) \(\sqrt[3]{-54a^5b^9}\).
1) Оба множителя под корнем положительны, поэтому \[\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}.\]
2) Оба множителя под корнем положительны, поэтому \[\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}.\]
3) Корень третьей степени существует при любом \(a\), поэтому знак \(a\) из условия не определяется — рассмотрим два случая.
Если \(a \geqslant 0\), то \(-a^7 = -\left(a^2\right)^3 \cdot a\), причём \(\left(a^2\right)^3 \geqslant 0\) и \(a \geqslant 0\). Вынося минус из-под знака корня нечётной степени, получаем: \[\sqrt[3]{-a^7} = -\sqrt[3]{\left(a^2\right)^3 \cdot a} = -\sqrt[3]{\left(a^2\right)^3} \cdot \sqrt[3]{a} = -a^2\sqrt[3]{a}.\]
Если \(a < 0\), то \(-a^7 = \left(a^2\right)^3 \cdot (-a)\), причём \(\left(a^2\right)^3 > 0\) и \(-a > 0\), поэтому \[\sqrt[3]{-a^7} = \sqrt[3]{\left(a^2\right)^3} \cdot \sqrt[3]{-a} = a^2\sqrt[3]{-a} = -a^2\sqrt[3]{a}.\]
В обоих случаях \(\sqrt[3]{-a^7} = -a^2\sqrt[3]{a}\).
4) Запишем подкоренное выражение в виде \(-54a^5b^9 = \left(-3ab^3\right)^3 \cdot 2a^2\), где \(2a^2 \geqslant 0\) при любом \(a\). Знак множителя \(-3ab^3\) не задан, поэтому рассмотрим два случая.
Если \(-3ab^3 \geqslant 0\), то оба множителя под корнем неотрицательны и \[\sqrt[3]{-54a^5b^9} = \sqrt[3]{\left(-3ab^3\right)^3} \cdot \sqrt[3]{2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}.\]
Если \(-3ab^3 < 0\), то \(3ab^3 > 0\), и, вынося минус из-под знака корня нечётной степени, получаем тот же результат: \[\sqrt[3]{-54a^5b^9} = -\sqrt[3]{\left(3ab^3\right)^3 \cdot 2a^2} = -\sqrt[3]{\left(3ab^3\right)^3} \cdot \sqrt[3]{2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}.\]
Ответ: 1) \(3\sqrt[4]{2}\); 2) \(5\sqrt[3]{2}\); 3) \(-a^2\sqrt[3]{a}\); 4) \(-3ab^3\sqrt[3]{2a^2}\).
