Страница 101 номер 12.36, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Докажем сначала равенство \(\sqrt{6} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}\).

Так как \(\sqrt{3} < 2\), то числа \(2 + \sqrt{3}\) и \(2 - \sqrt{3}\) положительны, поэтому правая часть определена и неотрицательна. Её квадрат равен \[\left(2 + \sqrt{3}\right) + \left(2 - \sqrt{3}\right) + 2\sqrt{\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right)} = 4 + 2\sqrt{4 - 3} = 6.\]

Неотрицательное число, квадрат которого равен 6, — это арифметический корень \(\sqrt{6}\), значит, равенство верно.

Теперь выясним, как меняется запись при добавлении ещё одного радикала. Пусть \(u = \sqrt[2^k]{2 + \sqrt{3}}\) и \(v = \sqrt[2^k]{2 - \sqrt{3}}\), где \(k\) — натуральное число. Тогда \(u > 0\), \(v > 0\) и \[uv = \sqrt[2^k]{\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right)} = \sqrt[2^k]{1} = 1.\]

Число \(\sqrt{u} + \sqrt{v}\) неотрицательно, а его квадрат равен \(u + 2\sqrt{uv} + v = u + v + 2\). Значит, \(\sqrt{2 + (u + v)} = \sqrt{u} + \sqrt{v}\). Кроме того, по свойству корня из корня \(\sqrt{u} = \sqrt[2^{k + 1}]{2 + \sqrt{3}}\) и \(\sqrt{v} = \sqrt[2^{k + 1}]{2 - \sqrt{3}}\), поэтому \[\sqrt{2 + \left(\sqrt[2^k]{2 + \sqrt{3}} + \sqrt[2^k]{2 - \sqrt{3}}\right)} = \sqrt[2^{k + 1}]{2 + \sqrt{3}} + \sqrt[2^{k + 1}]{2 - \sqrt{3}}.\]

Другими словами, каждый добавленный радикал вида \(\sqrt{2 + \ldots}\) удваивает показатель корня.

Выражение с одним радикалом равно \(\sqrt{6} = \sqrt[2]{2 + \sqrt{3}} + \sqrt[2]{2 - \sqrt{3}}\), и показатель здесь равен \(2 = 2^1\). Повторив переход девять раз, добавим ещё девять радикалов и девять раз удвоим показатель: он станет равным \(2^{10} = 1024\). Значит, \[\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\ldots + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}}}}_{10\ \text{радикалов}} = \sqrt[1024]{2 + \sqrt{3}} + \sqrt[1024]{2 - \sqrt{3}}.\]

Ответ: равенство доказано.