Страница 101 номер 12.35, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Сначала докажем, что число \(\sqrt[3]{10}\) иррациональное.

Предположим противное: пусть \(\sqrt[3]{10} = \frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — натуральные числа, а дробь \(\frac{p}{q}\) несократимая. Возведя обе части в куб, получаем \(\frac{p^3}{q^3} = 10\), то есть \(p^3 = 10q^3\).

Число \(10q^3\) чётное, поэтому чётным является и число \(p^3\), а значит, чётно и число \(p\) (куб нечётного числа нечётен). Пусть \(p = 2p_1\), где \(p_1\) — натуральное число. Тогда \(8p_1^3 = 10q^3\), то есть \(4p_1^3 = 5q^3\). Левая часть этого равенства чётная, значит, чётно и число \(5q^3\), а тогда чётно и число \(q\).

Получилось, что числа \(p\) и \(q\) чётные, но это противоречит несократимости дроби \(\frac{p}{q}\). Значит, число \(\sqrt[3]{10}\) иррациональное.

Теперь предположим, что число \(x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\) рациональное. Числа 2 и 5 положительны, поэтому \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}\). Возведём равенство \(x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\) в куб, пользуясь тем, что \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab\,(a + b)\): \[x^3 = 2 + 5 + 3\sqrt[3]{10} \cdot x = 7 + 3x\sqrt[3]{10}.\]

Так как \(x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} > 0\), то \(x \ne 0\), и из последнего равенства получаем \(\sqrt[3]{10} = \frac{x^3 - 7}{3x}\).

Если число \(x\) рациональное, то рациональным является и число \(\frac{x^3 - 7}{3x}\), так как сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел рациональны. Но число \(\sqrt[3]{10}\) иррациональное — получили противоречие.

Значит, предположение неверно и число \(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\) иррациональное.

Ответ: число \(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\) иррациональное.