Страница 101 номер 12.34, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число \(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}\) является его корнем.
Пусть \(x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}\). Числа 3 и 9 положительны, поэтому \(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{27} = 3\), и по формуле \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab\,(a + b)\) \[x^3 = 3 + 9 + 3 \cdot 3 \cdot x = 12 + 9x.\]
Отсюда \(x^3 - 9x - 12 = 0\), значит, \(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}\) — корень многочлена \(x^3 - 9x - 12\), все коэффициенты которого целые.
Ответ: например, многочлен \(x^3 - 9x - 12\).
Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число \(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}\) является его корнем.
Пусть \(x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}\) и возведём обе части этого равенства в куб, пользуясь тем, что \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab\,(a + b)\).
Имеем: \(\left(\sqrt[3]{3}\right)^3 = 3\), \(\left(\sqrt[3]{9}\right)^3 = 9\), а так как числа 3 и 9 положительны, то \(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{27} = 3\). Тогда \[x^3 = 3 + 9 + 3 \cdot 3 \cdot x = 12 + 9x.\]
Отсюда \(x^3 - 9x - 12 = 0\). Значит, число \(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}\) является корнем многочлена \(x^3 - 9x - 12\), все коэффициенты которого — целые числа.
Ответ: например, многочлен \(x^3 - 9x - 12\).
