Страница 100 номер 12.33, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение \(\left(\sqrt[64]{a} + 1\right)\left(\sqrt[32]{a} + 1\right)\ldots\left(\sqrt{a} + 1\right)\).
Показатели корней — \(64\), \(32\), \(16\), \(8\), \(4\), \(2\), поэтому множителей шесть: \[\left(\sqrt[64]{a} + 1\right)\left(\sqrt[32]{a} + 1\right)\left(\sqrt[16]{a} + 1\right)\left(\sqrt[8]{a} + 1\right)\left(\sqrt[4]{a} + 1\right)\left(\sqrt{a} + 1\right).\]
Все показатели чётные, поэтому выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\). Обозначим произведение через \(P\).
Если \(a = 1\), то каждый из шести множителей равен \(1 + 1 = 2\), поэтому \(P = 2^6 = 64\).
Пусть \(a \geqslant 0\), \(a \ne 1\); тогда \(\sqrt[64]{a} - 1 \ne 0\) и \(P\) можно умножить и разделить на \(\sqrt[64]{a} - 1\). Так как \(a \geqslant 0\), то \(\left(\sqrt[64]{a}\right)^2 = \sqrt[32]{a}\), и квадрат каждого следующего корня равен корню вдвое меньшего показателя: \[\begin{gathered} \left(\sqrt[64]{a} - 1\right)\left(\sqrt[64]{a} + 1\right) = \sqrt[32]{a} - 1; \\ \left(\sqrt[32]{a} - 1\right)\left(\sqrt[32]{a} + 1\right) = \sqrt[16]{a} - 1; \end{gathered}\] \[\ldots \qquad \left(\sqrt[4]{a} - 1\right)\left(\sqrt[4]{a} + 1\right) = \sqrt{a} - 1; \qquad \left(\sqrt{a} - 1\right)\left(\sqrt{a} + 1\right) = a - 1.\]
Значит, \(\left(\sqrt[64]{a} - 1\right) \cdot P = a - 1\), откуда \(P = \frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}\).
Ответ: если \(a = 1\), то \(2^6 = 64\); если \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\), то \(\frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}\).
Упростите выражение \(\left(\sqrt[64]{a} + 1\right)\left(\sqrt[32]{a} + 1\right)\ldots\left(\sqrt{a} + 1\right)\).
Показатели корней в данном произведении — числа \(64\), \(32\), \(16\), \(8\), \(4\), \(2\), поэтому множителей шесть: \[\left(\sqrt[64]{a} + 1\right)\left(\sqrt[32]{a} + 1\right)\left(\sqrt[16]{a} + 1\right)\left(\sqrt[8]{a} + 1\right)\left(\sqrt[4]{a} + 1\right)\left(\sqrt{a} + 1\right).\]
Все показатели корней чётные, поэтому выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\). Обозначим произведение через \(P\) и рассмотрим два случая.
Если \(a = 1\), то каждый из шести множителей равен \(1 + 1 = 2\), поэтому \(P = 2^6 = 64\).
Пусть теперь \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\). Тогда \(\sqrt[64]{a} \ne 1\), то есть \(\sqrt[64]{a} - 1 \ne 0\), и произведение можно умножить и разделить на \(\sqrt[64]{a} - 1\). Так как \(a \geqslant 0\), то \(\left(\sqrt[64]{a}\right)^2 = \sqrt[64]{a^2} = \sqrt[32]{a}\), и точно так же квадрат каждого следующего корня равен корню вдвое меньшего показателя. Последовательно применяя формулу разности квадратов, получаем: \[\begin{gathered} \left(\sqrt[64]{a} - 1\right)\left(\sqrt[64]{a} + 1\right) = \sqrt[32]{a} - 1; \\ \left(\sqrt[32]{a} - 1\right)\left(\sqrt[32]{a} + 1\right) = \sqrt[16]{a} - 1; \end{gathered}\] \[\ldots \qquad \left(\sqrt[4]{a} - 1\right)\left(\sqrt[4]{a} + 1\right) = \sqrt{a} - 1; \qquad \left(\sqrt{a} - 1\right)\left(\sqrt{a} + 1\right) = a - 1.\]
Значит, \(\left(\sqrt[64]{a} - 1\right) \cdot P = a - 1\), откуда \(P = \frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}\).
Ответ: если \(a = 1\), то \(2^6 = 64\); если \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\), то \(\frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}\).
