Страница 100 номер 12.32, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Обозначим данное произведение через \(P\).

Так как \(1^{32} = 1 \ne 2\), то \(\sqrt[32]{2} \ne 1\), то есть \(\sqrt[32]{2} - 1 \ne 0\). Умножим и разделим \(P\) на \(\sqrt[32]{2} - 1\).

Заметим, что \(\left(\sqrt[32]{2}\right)^2 = \sqrt[32]{2^2} = \sqrt[16]{2}\), и точно так же \(\left(\sqrt[16]{2}\right)^2 = \sqrt[8]{2}\), \(\left(\sqrt[8]{2}\right)^2 = \sqrt[4]{2}\), \(\left(\sqrt[4]{2}\right)^2 = \sqrt{2}\).

Последовательно применяя формулу разности квадратов, получаем: \[\left(\sqrt[32]{2} - 1\right)\left(\sqrt[32]{2} + 1\right) = \left(\sqrt[32]{2}\right)^2 - 1 = \sqrt[16]{2} - 1;\] \[\begin{gathered} \left(\sqrt[16]{2} - 1\right)\left(\sqrt[16]{2} + 1\right) = \sqrt[8]{2} - 1; \\ \left(\sqrt[8]{2} - 1\right)\left(\sqrt[8]{2} + 1\right) = \sqrt[4]{2} - 1; \end{gathered}\] \[\begin{gathered} \left(\sqrt[4]{2} - 1\right)\left(\sqrt[4]{2} + 1\right) = \sqrt{2} - 1; \\ \left(\sqrt{2} - 1\right)\left(\sqrt{2} + 1\right) = 2 - 1 = 1. \end{gathered}\]

Значит, \(\left(\sqrt[32]{2} - 1\right) \cdot P = 1\), откуда \(P = \frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}\).

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}\).