Страница 100 номер 12.31, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что \(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4\).
Пусть \(x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}\).
Так как \(14\sqrt{2} = \sqrt{392} < 20\), оба подкоренных выражения положительны, поэтому \[\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{400 - 392} = \sqrt[3]{8} = 2.\]
По формуле \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab\,(a + b)\) \[x^3 = \left(20 + 14\sqrt{2}\right) + \left(20 - 14\sqrt{2}\right) + 3 \cdot 2 \cdot x = 40 + 6x.\]
Отсюда \(x^3 - 6x - 40 = 0\). Среди делителей числа 40 находим корень \(x = 4\): \(4^3 - 6 \cdot 4 - 40 = 0\); разделив \(x^3 - 6x - 40\) на \(x - 4\), получаем \(x^2 + 4x + 10\).
\((x - 4)\left(x^2 + 4x + 10\right) = 0\), а \(x^2 + 4x + 10 = (x + 2)^2 + 6 > 0\), значит, \(x = 4\) — единственный корень, то есть \(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4\).
Ответ: равенство доказано: значение выражения \(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}\) равно 4.
Докажите, что \(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4\).
Пусть \(x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}\).
Так как \(14\sqrt{2} = \sqrt{392} < 20\), оба подкоренных выражения положительны, поэтому \[\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{400 - 392} = \sqrt[3]{8} = 2.\]
Воспользуемся тем, что \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab\,(a + b)\): \[x^3 = \left(20 + 14\sqrt{2}\right) + \left(20 - 14\sqrt{2}\right) + 3 \cdot 2 \cdot x = 40 + 6x.\]
Отсюда \(x^3 - 6x - 40 = 0\). Рассмотрев делители числа 40, устанавливаем, что \(x = 4\) — корень этого уравнения: \(4^3 - 6 \cdot 4 - 40 = 0\). Разделив многочлен \(x^3 - 6x - 40\) на двучлен \(x - 4\), получаем: \(x^2 + 4x + 10\).
Имеем: \((x - 4)\left(x^2 + 4x + 10\right) = 0\). Так как \(x^2 + 4x + 10 = (x + 2)^2 + 6 > 0\), уравнение имеет единственный корень \(x = 4\).
Значит, \(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4\), что и требовалось доказать.
Ответ: равенство доказано: значение выражения \(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}\) равно 4.
