Страница 100 номер 12.30, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что значение выражения является рациональным числом: 1) \(\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}\); 2) \(\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}\).
1) Пусть \(x = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}\).
Так как \(5\sqrt{2} = \sqrt{50} > 7\), то \(7 - 5\sqrt{2} < 0\) и \(\sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = -\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}\); числа \(7 + 5\sqrt{2}\) и \(5\sqrt{2} - 7\) положительны, поэтому \[\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = -\sqrt[3]{\left(5\sqrt{2} + 7\right)\left(5\sqrt{2} - 7\right)} = -\sqrt[3]{50 - 49} = -1.\]
По формуле \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab\,(a + b)\) \[x^3 = \left(7 + 5\sqrt{2}\right) + \left(7 - 5\sqrt{2}\right) + 3 \cdot (-1) \cdot x = 14 - 3x.\]
Отсюда \(x^3 + 3x - 14 = 0\). Среди делителей числа 14 находим корень \(x = 2\): \(2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 0\); деление \(x^3 + 3x - 14\) на \(x - 2\) даёт \(x^2 + 2x + 7\).
\((x - 2)\left(x^2 + 2x + 7\right) = 0\), а \(x^2 + 2x + 7 = (x + 1)^2 + 6 > 0\), значит, \(x = 2\) — единственный корень.
2) Пусть \(x = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}\).
Так как \(6\sqrt{3} = \sqrt{108} > 10\), оба подкоренных выражения положительны, поэтому \[\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8} = 2.\]
По формуле \((a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab\,(a - b)\) \[x^3 = \left(6\sqrt{3} + 10\right) - \left(6\sqrt{3} - 10\right) - 3 \cdot 2 \cdot x = 20 - 6x.\]
Отсюда \(x^3 + 6x - 20 = 0\). Среди делителей числа 20 находим корень \(x = 2\): \(2^3 + 6 \cdot 2 - 20 = 0\); деление \(x^3 + 6x - 20\) на \(x - 2\) даёт \(x^2 + 2x + 10\).
\((x - 2)\left(x^2 + 2x + 10\right) = 0\), а \(x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9 > 0\), значит, \(x = 2\) — единственный корень.
Ответ: значение каждого из выражений равно 2, а 2 — целое, значит, и рациональное число.
Докажите, что значение выражения является рациональным числом: 1) \(\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}\); 2) \(\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}\).
1) Пусть \(x = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}\).
Так как \(5\sqrt{2} = \sqrt{50} > 7\), то \(7 - 5\sqrt{2} < 0\) и \(\sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = -\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}\). Числа \(7 + 5\sqrt{2}\) и \(5\sqrt{2} - 7\) положительны, поэтому \[\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = -\sqrt[3]{\left(5\sqrt{2} + 7\right)\left(5\sqrt{2} - 7\right)} = -\sqrt[3]{50 - 49} = -1.\]
Воспользуемся тем, что \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab\,(a + b)\): \[x^3 = \left(7 + 5\sqrt{2}\right) + \left(7 - 5\sqrt{2}\right) + 3 \cdot (-1) \cdot x = 14 - 3x.\]
Отсюда \(x^3 + 3x - 14 = 0\). Рассмотрев делители числа 14, устанавливаем, что \(x = 2\) — корень этого уравнения: \(2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 0\). Разделив многочлен \(x^3 + 3x - 14\) на двучлен \(x - 2\), получаем: \(x^2 + 2x + 7\).
Имеем: \((x - 2)\left(x^2 + 2x + 7\right) = 0\). Так как \(x^2 + 2x + 7 = (x + 1)^2 + 6 > 0\), уравнение имеет единственный корень \(x = 2\).
2) Пусть \(x = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}\).
Так как \(6\sqrt{3} = \sqrt{108} > 10\), оба подкоренных выражения положительны, поэтому \[\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8} = 2.\]
Воспользуемся тем, что \((a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab\,(a - b)\): \[x^3 = \left(6\sqrt{3} + 10\right) - \left(6\sqrt{3} - 10\right) - 3 \cdot 2 \cdot x = 20 - 6x.\]
Отсюда \(x^3 + 6x - 20 = 0\). Рассмотрев делители числа 20, находим корень \(x = 2\): \(2^3 + 6 \cdot 2 - 20 = 0\). Разделив многочлен \(x^3 + 6x - 20\) на двучлен \(x - 2\), получаем: \(x^2 + 2x + 10\).
Имеем: \((x - 2)\left(x^2 + 2x + 10\right) = 0\). Так как \(x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9 > 0\), уравнение имеет единственный корень \(x = 2\).
Ответ: значение каждого из выражений равно 2, а 2 — целое, значит, и рациональное число.
