Страница 100 номер 12.29, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Корень \(\sqrt[6]{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), а знаменатели \(\sqrt[3]{x}\) и \(\sqrt[3]{x^2}\) отличны от нуля при \(x \ne 0\). Значит, обе части равенства имеют смысл при \(x > 0\).

Обозначим \(t = \sqrt[6]{x}\). Тогда \(t > 0\) и \(\sqrt[3]{x} = t^2\), \(\sqrt[3]{x^2} = \sqrt[6]{x^4} = t^4\), \(x = t^6\). Левая часть принимает вид \[\left(\frac{1}{t + 1} - \frac{t - 1}{t^2}\right) : \frac{t^4}{t^2 + 2t + 1}.\]

Преобразуем разность в скобках: \[\frac{1}{t + 1} - \frac{t - 1}{t^2} = \frac{t^2 - (t - 1)(t + 1)}{t^2(t + 1)} = \frac{1}{t^2(t + 1)}.\]

Так как \(t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2\), то \[\frac{1}{t^2(t + 1)} : \frac{t^4}{(t + 1)^2} = \frac{1}{t^2(t + 1)} \cdot \frac{(t + 1)^2}{t^4} = \frac{t + 1}{t^6}.\]

Правая часть равна \(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x} = \frac{t + 1}{t^6}\). Части равенства совпали, тождество доказано.

2) Корни \(\sqrt[6]{a}\) и \(\sqrt[6]{b}\) имеют смысл при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); знаменатели \(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}\), \(\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\) и \(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}\) отличны от нуля при \(a \ne b\).

Обозначим \(p = \sqrt[6]{a}\), \(q = \sqrt[6]{b}\). Тогда \(p \geqslant 0\), \(q \geqslant 0\), \(p \ne q\) и \[\begin{gathered} a = p^6, \\ b = q^6, \\ \sqrt[3]{a^2} = p^4, \\ \sqrt[3]{b^2} = q^4; \end{gathered}\] \[\begin{gathered} \sqrt[3]{ab} = p^2q^2, \\ \sqrt[3]{ab^2} = p^2q^4, \\ \sqrt[3]{a^2b} = p^4q^2. \end{gathered}\]

Вторая дробь числителя равна \[\frac{p^2q^4 - p^4q^2}{p^4 - 2p^2q^2 + q^4} = \frac{-p^2q^2\left(p^2 - q^2\right)}{\left(p^2 - q^2\right)^2} = -\frac{p^2q^2}{p^2 - q^2}.\]

Сложим её с первой дробью \(\frac{p^6 + q^6}{p^4 - q^4}\), учитывая, что \(p^4 - q^4 = \left(p^2 - q^2\right)\left(p^2 + q^2\right)\): \[\frac{p^6 + q^6}{\left(p^2 - q^2\right)\left(p^2 + q^2\right)} - \frac{p^2q^2}{p^2 - q^2} = \frac{p^6 - p^4q^2 - p^2q^4 + q^6}{\left(p^2 - q^2\right)\left(p^2 + q^2\right)}.\]

Разложим числитель на множители: \(p^4\left(p^2 - q^2\right) - q^4\left(p^2 - q^2\right) = \left(p^2 - q^2\right)\left(p^4 - q^4\right)\). Значит, числитель данного выражения равен \[\frac{\left(p^2 - q^2\right)\left(p^4 - q^4\right)}{\left(p^2 - q^2\right)\left(p^2 + q^2\right)} = \frac{p^4 - q^4}{p^2 + q^2} = p^2 - q^2.\]

Остаётся разделить полученное выражение на \(p - q\): \[\frac{p^2 - q^2}{p - q} = p + q = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}.\]

Части равенства совпали, тождество доказано.

3) Корень \(\sqrt{m - 4}\) имеет смысл при \(m \geqslant 4\). Обозначим \(t = \sqrt{m - 4}\); тогда \(t \geqslant 0\), \(m = t^2 + 4\) и \[\begin{gathered} m + 4\sqrt{m - 4} = (t + 2)^2, \\ m - 4\sqrt{m - 4} = (t - 2)^2, \\ m - 8 = t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2). \end{gathered}\]

Знаменатели отличны от нуля при \(t \ne 2\), то есть при \(m \ne 8\). Значит, обе части равенства имеют смысл при \(m \geqslant 4\), \(m \ne 8\).

Покажем, что для любого числа \(c\) выполняется равенство \(\sqrt[3]{c^2} \cdot \sqrt[3]{c} = c\). Если \(c \geqslant 0\), то \(\sqrt[3]{c^2} \cdot \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{c^3} = c\). Если же \(c < 0\), то \(c^2 = (-c)^2\) и \(\sqrt[3]{c} = -\sqrt[3]{-c}\), поэтому \[\sqrt[3]{c^2} \cdot \sqrt[3]{c} = -\sqrt[3]{(-c)^2} \cdot \sqrt[3]{-c} = -\sqrt[3]{(-c)^3} = -(-c) = c.\]

Применим это равенство к числам \(c = t + 2\) и \(c = t - 2\): \[\begin{gathered} \sqrt[3]{(t + 2)^2} \cdot \sqrt[3]{t + 2} = t + 2, \\ \sqrt[3]{(t - 2)^2} \cdot \sqrt[3]{t - 2} = t - 2. \end{gathered}\]

Тогда левая часть данного равенства принимает вид \[\frac{t + 2}{t - 2} \cdot \frac{(t - 2)^2}{(t - 2)(t + 2)} = \frac{t + 2}{t - 2} \cdot \frac{t - 2}{t + 2} = 1.\]

Тождество доказано.

Ответ: тождества доказаны: 1) при \(x > 0\); 2) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(a \ne b\); 3) при \(m \geqslant 4\), \(m \ne 8\).