Страница 98 номер 12.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Числа 25 и 5 положительны, поэтому применима теорема о корне из произведения:
\[\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} = 5.\]

2) Числитель неотрицателен, знаменатель положителен, поэтому применима теорема о корне из дроби:
\[\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{80}{5}} = \sqrt[4]{16} = 2.\]

3) Проверим знаки подкоренных выражений: \(2\sqrt{17} = \sqrt{4 \cdot 17} = \sqrt{68} < \sqrt{100} = 10\), поэтому \(2\sqrt{17} + 10 > 0\), а \(2\sqrt{17} - 10 < 0\). Теорема о корне из произведения к таким множителям неприменима, но корень нечётной степени из противоположного числа равен противоположному корню: \(\sqrt[5]{2\sqrt{17} - 10} = -\sqrt[5]{10 - 2\sqrt{17}}\).

Числа \(10 + 2\sqrt{17}\) и \(10 - 2\sqrt{17}\) положительны, поэтому
\[\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} - 10} = -\sqrt[5]{\left(10 + 2\sqrt{17}\right)\left(10 - 2\sqrt{17}\right)} = -\sqrt[5]{100 - 68} = -\sqrt[5]{32} = -2.\]

Ответ: 1) \(5\); 2) \(2\); 3) \(-2\).