Страница 100 номер 12.28, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\left(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} - 1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 1}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} - 1}\); 2) \(\left(\frac{\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1\right)\); 3) \(\frac{\sqrt[3]{2a + 2\sqrt{a^2 - 1}}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1}} + \frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}} + 2}}\).
1) ОДЗ: корень \(\sqrt[6]{x}\) требует \(x \geqslant 0\), знаменатели — \(\sqrt[6]{x} \ne 1\) и \(\sqrt[3]{x} \ne 1\), то есть \(x \geqslant 0\), \(x \ne 1\).
Обозначим \(t = \sqrt[6]{x}\); тогда \(t \geqslant 0\), \(t \ne 1\), \(\sqrt[3]{x} = t^2\) и выражение принимает вид \[\left(\frac{t + 1}{t - 1} - \frac{4t}{t^2 - 1}\right) \cdot \frac{t^2 + t}{t - 1}.\]
\[\frac{t + 1}{t - 1} - \frac{4t}{t^2 - 1} = \frac{(t + 1)^2 - 4t}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{(t - 1)^2}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{t - 1}{t + 1}.\] \[\frac{t - 1}{t + 1} \cdot \frac{t(t + 1)}{t - 1} = t = \sqrt[6]{x}.\]
2) ОДЗ: корни \(\sqrt[4]{a^3}\) и \(\sqrt{a}\) требуют \(a \geqslant 0\), дробь \(\frac{a}{b}\) под корнем — \(b > 0\), знаменатель \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) — \(a \ne b\).
Обозначим \(u = \sqrt[4]{a}\), \(v = \sqrt[4]{b}\); тогда \(u \geqslant 0\), \(v > 0\), \(u \ne v\) и \[\begin{gathered} \sqrt[4]{a^3} = u^3, \\ \sqrt[4]{b^3} = v^3, \\ \sqrt{a} = u^2; \end{gathered}\] \[\begin{gathered} \sqrt{b} = v^2, \\ \sqrt[4]{\frac{a}{b}} = \frac{u}{v}. \end{gathered}\]
Первый множитель равен \[\begin{aligned} &\frac{u^3 - v^3}{u^2 - v^2} - u - v = \frac{u^2 + uv + v^2}{u + v} - (u + v) = {} \\ &= \frac{u^2 + uv + v^2 - (u + v)^2}{u + v} = -\frac{uv}{u + v}, \end{aligned}\] второй — \(\frac{u}{v} + 1 = \frac{u + v}{v}\), поэтому всё выражение равно \[-\frac{uv}{u + v} \cdot \frac{u + v}{v} = -u = -\sqrt[4]{a}.\]
3) ОДЗ: корни \(\sqrt{a - 1}\) и \(\sqrt{a + 1}\) требуют \(a \geqslant 1\), а дробь \(\frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}}\) — \(\sqrt{a - 1} \ne 0\), то есть \(a > 1\).
Числа \(a - 1\) и \(a + 1\) неотрицательны, поэтому \(\sqrt{a - 1} \cdot \sqrt{a + 1} = \sqrt{a^2 - 1}\) и \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1}} + \frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}} + 2 = \frac{(a - 1) + (a + 1)}{\sqrt{a^2 - 1}} + 2 = {} \\ &= \frac{2a}{\sqrt{a^2 - 1}} + 2 = \frac{2a + 2\sqrt{a^2 - 1}}{\sqrt{a^2 - 1}}. \end{aligned}\]
Обозначим \(A = 2a + 2\sqrt{a^2 - 1}\); при \(a > 1\) числа \(A\) и \(\sqrt{a^2 - 1}\) положительны, поэтому \[\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{\dfrac{A}{\sqrt{a^2 - 1}}}} = \sqrt[3]{A : \frac{A}{\sqrt{a^2 - 1}}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^2 - 1}} = \sqrt[6]{a^2 - 1}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt[6]{x}\); 2) \(-\sqrt[4]{a}\); 3) \(\sqrt[6]{a^2 - 1}\).
Упростите выражение: 1) \(\left(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} - 1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 1}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} - 1}\); 2) \(\left(\frac{\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1\right)\); 3) \(\frac{\sqrt[3]{2a + 2\sqrt{a^2 - 1}}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1}} + \frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}} + 2}}\).
1) Корень \(\sqrt[6]{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\); знаменатели отличны от нуля, если \(\sqrt[6]{x} \ne 1\) и \(\sqrt[3]{x} \ne 1\), то есть если \(x \ne 1\). Значит, выражение имеет смысл при \(x \geqslant 0\), \(x \ne 1\).
Обозначим \(t = \sqrt[6]{x}\). Тогда \(t \geqslant 0\), \(t \ne 1\) и \(\sqrt[3]{x} = \sqrt[6]{x^2} = t^2\). Данное выражение принимает вид \[\left(\frac{t + 1}{t - 1} - \frac{4t}{t^2 - 1}\right) \cdot \frac{t^2 + t}{t - 1}.\]
Преобразуем разность в скобках: \[\frac{t + 1}{t - 1} - \frac{4t}{t^2 - 1} = \frac{(t + 1)^2 - 4t}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{(t - 1)^2}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{t - 1}{t + 1}.\]
Разложив на множители числитель второй дроби, получаем: \[\frac{t - 1}{t + 1} \cdot \frac{t(t + 1)}{t - 1} = t = \sqrt[6]{x}.\]
2) Корни \(\sqrt[4]{a^3}\) и \(\sqrt{a}\) имеют смысл при \(a \geqslant 0\), дробь \(\frac{a}{b}\) под корнем — при \(b > 0\), а знаменатель \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) отличен от нуля при \(a \ne b\). Значит, выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\), \(a \ne b\).
Обозначим \(u = \sqrt[4]{a}\), \(v = \sqrt[4]{b}\). Тогда \(u \geqslant 0\), \(v > 0\), \(u \ne v\) и \[\begin{gathered} \sqrt[4]{a^3} = u^3, \\ \sqrt[4]{b^3} = v^3, \\ \sqrt{a} = u^2; \end{gathered}\] \[\begin{gathered} \sqrt{b} = v^2, \\ \sqrt[4]{\frac{a}{b}} = \frac{u}{v}. \end{gathered}\]
Преобразуем первый множитель, пользуясь тем, что \(u^3 - v^3 = (u - v)\left(u^2 + uv + v^2\right)\) и \(u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)\): \[\begin{aligned} &\frac{u^3 - v^3}{u^2 - v^2} - u - v = \frac{u^2 + uv + v^2}{u + v} - (u + v) = {} \\ &= \frac{u^2 + uv + v^2 - (u + v)^2}{u + v} = -\frac{uv}{u + v}. \end{aligned}\]
Второй множитель равен \(\frac{u}{v} + 1 = \frac{u + v}{v}\). Значит, всё выражение равно \[-\frac{uv}{u + v} \cdot \frac{u + v}{v} = -u = -\sqrt[4]{a}.\]
3) Корни \(\sqrt{a - 1}\) и \(\sqrt{a + 1}\) имеют смысл при \(a \geqslant 1\), а дробь \(\frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}}\) — при \(\sqrt{a - 1} \ne 0\), то есть при \(a > 1\).
Так как числа \(a - 1\) и \(a + 1\) неотрицательны, то \(\sqrt{a - 1} \cdot \sqrt{a + 1} = \sqrt{(a - 1)(a + 1)} = \sqrt{a^2 - 1}\). Преобразуем подкоренное выражение знаменателя: \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1}} + \frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}} + 2 = \frac{(a - 1) + (a + 1)}{\sqrt{a^2 - 1}} + 2 = {} \\ &= \frac{2a}{\sqrt{a^2 - 1}} + 2 = \frac{2a + 2\sqrt{a^2 - 1}}{\sqrt{a^2 - 1}}. \end{aligned}\]
Обозначим \(A = 2a + 2\sqrt{a^2 - 1}\); при \(a > 1\) имеем \(A > 0\) и \(\sqrt{a^2 - 1} > 0\). Числитель и знаменатель данной дроби — корни из положительных чисел, поэтому \[\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{\dfrac{A}{\sqrt{a^2 - 1}}}} = \sqrt[3]{A : \frac{A}{\sqrt{a^2 - 1}}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^2 - 1}} = \sqrt[6]{a^2 - 1}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt[6]{x}\); 2) \(-\sqrt[4]{a}\); 3) \(\sqrt[6]{a^2 - 1}\).
