Страница 100 номер 12.27, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt[8]{x^8} - 2x\); 2) \(y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}\); 3) \(y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}\).
1) \(\sqrt[8]{x^8} = |x|\) при любом \(x\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R}\) и \(y = |x| - 2x\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(y = x - 2x = -x\); если \(x < 0\), то \(y = -x - 2x = -3x\). График — две полупрямые с общим началом \((0;\ 0)\).
2) ОДЗ: \(-x \geqslant 0\) и \(-x^3 \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 0\); \(D(y) = (-\infty;\ 0]\). Подкоренные выражения неотрицательны, поэтому \[y = \sqrt[4]{(-x) \cdot \left(-x^3\right)} = \sqrt[4]{x^4} = |x| = -x.\]
График — полупрямая \(y = -x\), где \(x \leqslant 0\).
3) Дробь имеет смысл при \(x \ne 0\), поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); так как \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\), то \(y = \frac{|x|}{x}\).
Если \(x > 0\), то \(y = \frac{x}{x} = 1\); если \(x < 0\), то \(y = \frac{-x}{x} = -1\). График — две полупрямые с выколотыми концами \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\).
Ответ: 1) две полупрямые: \(y = -3x\) при \(x \leqslant 0\) и \(y = -x\) при \(x \geqslant 0\); 2) полупрямая \(y = -x\) при \(x \leqslant 0\); 3) две полупрямые \(y = 1\) при \(x > 0\) и \(y = -1\) при \(x < 0\) с выколотыми концами \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\).
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt[8]{x^8} - 2x\); 2) \(y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}\); 3) \(y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}\).
1) Выражение \(\sqrt[8]{x^8} = |x|\) имеет смысл при любом \(x\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R}\) и \(y = |x| - 2x\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(y = x - 2x = -x\); если \(x < 0\), то \(y = -x - 2x = -3x\). График — две полупрямые с общим началом в точке \((0;\ 0)\).
2) Оба множителя имеют смысл, если \(-x \geqslant 0\) и \(-x^3 \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 0\); значит, \(D(y) = (-\infty;\ 0]\). При \(x \leqslant 0\) подкоренные выражения неотрицательны, поэтому \[y = \sqrt[4]{(-x) \cdot \left(-x^3\right)} = \sqrt[4]{x^4} = |x| = -x.\]
График — полупрямая \(y = -x\), где \(x \leqslant 0\).
3) Дробь имеет смысл при \(x \ne 0\), поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\). Так как \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\), то \(y = \frac{|x|}{x}\).
Если \(x > 0\), то \(y = \frac{x}{x} = 1\); если \(x < 0\), то \(y = \frac{-x}{x} = -1\). График — две полупрямые с выколотыми концами \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\).
Ответ: 1) две полупрямые: \(y = -3x\) при \(x \leqslant 0\) и \(y = -x\) при \(x \geqslant 0\); 2) полупрямая \(y = -x\) при \(x \leqslant 0\); 3) две полупрямые \(y = 1\) при \(x > 0\) и \(y = -1\) при \(x < 0\) с выколотыми концами \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\).
