Страница 100 номер 12.26, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = 2x + \sqrt[6]{x^6}\); 2) \(y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}\); 3) \(y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}\).
1) \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\) при любом \(x\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R}\) и \(y = 2x + |x|\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(y = 2x + x = 3x\); если \(x < 0\), то \(y = 2x - x = x\). График — две полупрямые с общим началом \((0;\ 0)\).
2) \(x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R}\) и \[y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2} = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4} = |x|.\]
График — две полупрямые, образующие прямой угол с вершиной \((0;\ 0)\).
3) ОДЗ: \(x^3 \geqslant 0\) и \(x^9 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 0\); \(D(y) = [0;\ +\infty)\). Подкоренные выражения неотрицательны, поэтому \[y = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{12}} = \sqrt[6]{\left(x^2\right)^6} = \left|x^2\right| = x^2.\]
График — правая ветвь параболы \(y = x^2\) вместе с началом координат.
Ответ: 1) две полупрямые: \(y = x\) при \(x \leqslant 0\) и \(y = 3x\) при \(x \geqslant 0\); 2) \(y = |x|\), \(D(y) = \mathbf{R}\); 3) правая ветвь параболы \(y = x^2\) при \(x \geqslant 0\).
Постройте график функции: 1) \(y = 2x + \sqrt[6]{x^6}\); 2) \(y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}\); 3) \(y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}\).
1) Выражение \(\sqrt[6]{x^6} = \left|x\right|\) имеет смысл при любом \(x\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R}\) и \(y = 2x + |x|\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(y = 2x + x = 3x\); если \(x < 0\), то \(y = 2x - x = x\). График — две полупрямые с общим началом в точке \((0;\ 0)\).
2) Подкоренное выражение \(x^2\) неотрицательно при любом \(x\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R}\), и по свойству корня из произведения неотрицательных множителей \[y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2} = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4} = |x|.\]
График — две полупрямые, образующие прямой угол с вершиной в точке \((0;\ 0)\).
3) Оба множителя имеют смысл, если \(x^3 \geqslant 0\) и \(x^9 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\); значит, \(D(y) = [0;\ +\infty)\). При \(x \geqslant 0\) подкоренные выражения неотрицательны, поэтому \(y = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{12}}\). Так как \(x^{12} = \left(x^2\right)^6\), то \[y = \sqrt[6]{\left(x^2\right)^6} = \left|x^2\right| = x^2.\]
График — правая ветвь параболы \(y = x^2\) вместе с началом координат.
Ответ: 1) две полупрямые: \(y = x\) при \(x \leqslant 0\) и \(y = 3x\) при \(x \geqslant 0\); 2) \(y = |x|\), \(D(y) = \mathbf{R}\); 3) правая ветвь параболы \(y = x^2\) при \(x \geqslant 0\).
