Страница 100 номер 12.25, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Свернём подкоренное выражение первого множителя в квадрат: \(7 - 4\sqrt{3} = 4 - 2 \cdot 2\sqrt{3} + 3 = \left(2 - \sqrt{3}\right)^2\).

Так как \(\sqrt{3} < 2\), то \(2 - \sqrt{3} > 0\), поэтому \(\sqrt[6]{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt[6]{\left(2 - \sqrt{3}\right)^2} = \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}\).

Числа \(2 - \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\) положительны, значит, \[\sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} = \sqrt[3]{\left(2 - \sqrt{3}\right)\left(2 + \sqrt{3}\right)} = \sqrt[3]{4 - 3} = 1.\]

2) Свернём подкоренное выражение второго множителя в квадрат: \(25 + 4\sqrt{6} = 24 + 2 \cdot 2\sqrt{6} + 1 = \left(2\sqrt{6} + 1\right)^2\).

Так как \(2\sqrt{6} + 1 > 0\), то \(\sqrt[4]{25 + 4\sqrt{6}} = \sqrt[4]{\left(2\sqrt{6} + 1\right)^2} = \sqrt{2\sqrt{6} + 1}\).

Кроме того, \(2\sqrt{6} = \sqrt{24} > 1\), поэтому \(2\sqrt{6} - 1 > 0\) и оба подкоренных выражения неотрицательны: \[\sqrt{2\sqrt{6} - 1} \cdot \sqrt{2\sqrt{6} + 1} = \sqrt{\left(2\sqrt{6} - 1\right)\left(2\sqrt{6} + 1\right)} = \sqrt{24 - 1} = \sqrt{23}.\]

Ответ: 1) 1; 2) \(\sqrt{23}\).