Страница 100 номер 12.24, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите значение выражения: 1) \(\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}\); 2) \(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}}\).
1) \(19 + 6\sqrt{10} = 10 + 2 \cdot 3\sqrt{10} + 9 = \left(\sqrt{10} + 3\right)^2\), а \(\sqrt{10} + 3 > 0\), поэтому \(\sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}} = \sqrt[3]{\sqrt{10} + 3}\).
Кроме того, \(10 > 9\), поэтому \(\sqrt{10} - 3 > 0\); оба подкоренных выражения неотрицательны: \[\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{10} + 3} = \sqrt[3]{\left(\sqrt{10} - 3\right)\left(\sqrt{10} + 3\right)} = \sqrt[3]{10 - 9} = 1.\]
2) \(6 - 4\sqrt{2} = 4 - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 2 = \left(2 - \sqrt{2}\right)^2\), а \(\sqrt{2} < 2\), поэтому \(2 - \sqrt{2} > 0\) и \(\sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}\).
Оба подкоренных выражения неотрицательны: \[\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{\left(4 + 2\sqrt{2}\right)\left(2 - \sqrt{2}\right)} = \sqrt{8 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4} = \sqrt{4} = 2.\]
Ответ: 1) 1; 2) 2.
Найдите значение выражения: 1) \(\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}\); 2) \(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}}\).
1) Свернём подкоренное выражение второго множителя в квадрат: \(19 + 6\sqrt{10} = 10 + 2 \cdot 3\sqrt{10} + 9 = \left(\sqrt{10} + 3\right)^2\).
Так как \(\sqrt{10} + 3 > 0\), то \(\sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}} = \sqrt[6]{\left(\sqrt{10} + 3\right)^2} = \sqrt[3]{\sqrt{10} + 3}\).
Кроме того, \(\sqrt{10} > 3\), так как \(10 > 9\), поэтому \(\sqrt{10} - 3 > 0\). Оба подкоренных выражения неотрицательны, значит, \[\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{10} + 3} = \sqrt[3]{\left(\sqrt{10} - 3\right)\left(\sqrt{10} + 3\right)} = \sqrt[3]{10 - 9} = 1.\]
2) Свернём подкоренное выражение второго множителя в квадрат: \(6 - 4\sqrt{2} = 4 - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 2 = \left(2 - \sqrt{2}\right)^2\).
Так как \(\sqrt{2} < 2\), то \(2 - \sqrt{2} > 0\), поэтому \(\sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt[4]{\left(2 - \sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}\).
Оба подкоренных выражения неотрицательны, значит, \[\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{\left(4 + 2\sqrt{2}\right)\left(2 - \sqrt{2}\right)} = \sqrt{8 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4} = \sqrt{4} = 2.\]
Ответ: 1) 1; 2) 2.
