Страница 100 номер 12.23, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что значение выражения является целым числом: \[\frac{1}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{999^2} + \sqrt[3]{999 \cdot 1000} + \sqrt[3]{1000^2}}.\]
Слагаемое общего вида, где \(n\) — натуральное число, — \[\frac{1}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n + 1)} + \sqrt[3]{(n + 1)^2}}.\]
Обозначим \(u = \sqrt[3]{n}\), \(v = \sqrt[3]{n + 1}\). Числа \(n\) и \(n + 1\) положительны, поэтому \(u^2 = \sqrt[3]{n^2}\), \(v^2 = \sqrt[3]{(n + 1)^2}\), \(uv = \sqrt[3]{n(n + 1)}\), \(u^3 = n\), \(v^3 = n + 1\), причём \(v > u\).
Умножим числитель и знаменатель на \(v - u\) (это число отлично от нуля): \[\frac{1}{u^2 + uv + v^2} = \frac{v - u}{v^3 - u^3} = \frac{v - u}{(n + 1) - n} = v - u.\]
Значит, каждое слагаемое равно \(\sqrt[3]{n + 1} - \sqrt[3]{n}\), и всё выражение принимает вид \[\left(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1}\right) + \left(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}\right) + \ldots + \left(\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999}\right).\]
Все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, поэтому сумма равна \(\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{1} = 10 - 1 = 9\).
Ответ: значение выражения равно 9, а 9 — целое число.
Докажите, что значение выражения является целым числом: \[\frac{1}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{999^2} + \sqrt[3]{999 \cdot 1000} + \sqrt[3]{1000^2}}.\]
Рассмотрим слагаемое общего вида \[\frac{1}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n + 1)} + \sqrt[3]{(n + 1)^2}},\] где \(n\) — натуральное число.
Обозначим \(u = \sqrt[3]{n}\), \(v = \sqrt[3]{n + 1}\). Числа \(n\) и \(n + 1\) положительны, поэтому \(u^2 = \sqrt[3]{n^2}\), \(v^2 = \sqrt[3]{(n + 1)^2}\), \(uv = \sqrt[3]{n(n + 1)}\), \(u^3 = n\), \(v^3 = n + 1\), причём \(v > u\).
Знаменатель дроби равен \(u^2 + uv + v^2\). Умножим числитель и знаменатель на \(v - u\) (это число отлично от нуля) и воспользуемся формулой \((v - u)\left(v^2 + uv + u^2\right) = v^3 - u^3\): \[\frac{1}{u^2 + uv + v^2} = \frac{v - u}{v^3 - u^3} = \frac{v - u}{(n + 1) - n} = v - u.\]
Значит, каждое слагаемое равно \(\sqrt[3]{n + 1} - \sqrt[3]{n}\), и всё выражение принимает вид \[\left(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1}\right) + \left(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}\right) + \ldots + \left(\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999}\right).\]
После раскрытия скобок все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, поэтому сумма равна \(\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{1} = 10 - 1 = 9\).
Ответ: значение выражения равно 9, а 9 — целое число.
