Страница 99 номер 12.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Внесите множитель под знак корня: 1) \(a\sqrt[4]{2}\), если \(a \geqslant 0\); 2) \(mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}\); 3) \(ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}\), если \(a > 0\), \(b < 0\); 4) \(ab\sqrt[4]{ab^2}\), если \(b \leqslant 0\); 5) \(b\sqrt[6]{6}\); 6) \(a\sqrt[6]{-a}\).
1) \(a \geqslant 0\), поэтому \(a = \sqrt[4]{a^4}\) и \(a\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2a^4}\).
2) ОДЗ: \(\frac{1}{m^3n^3} > 0\), то есть \(m^3n^3 > 0\), откуда \(mn > 0\) и \(mn = \sqrt[4]{m^4n^4}\):
\[mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{m^4n^4 \cdot \frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{mn}.\]
3) Из \(a > 0\) и \(b < 0\) следует \(ab < 0\), поэтому \(ab = -\sqrt[6]{a^6b^6}\):
\[ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{6a^3b^4}.\]
4) ОДЗ: \(ab^2 \geqslant 0\), то есть \(a \geqslant 0\) или \(b = 0\); в обоих случаях из \(b \leqslant 0\) получаем \(ab \leqslant 0\), поэтому \(ab = -\sqrt[4]{a^4b^4}\):
\[ab\sqrt[4]{ab^2} = -\sqrt[4]{a^4b^4 \cdot ab^2} = -\sqrt[4]{a^5b^6}.\]
5) Знак числа \(b\) не задан — два случая.
Если \(b \geqslant 0\), то \(b = \sqrt[6]{b^6}\) и \(b\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{6b^6}\).
Если \(b < 0\), то \(b = -\sqrt[6]{b^6}\) и \(b\sqrt[6]{6} = -\sqrt[6]{6b^6}\).
6) ОДЗ: \(-a \geqslant 0\), то есть \(a \leqslant 0\). Тогда \(a = -\sqrt[6]{a^6}\) и
\[a\sqrt[6]{-a} = -\sqrt[6]{a^6 \cdot (-a)} = -\sqrt[6]{-a^7}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt[4]{2a^4}\); 2) \(\sqrt[4]{mn}\); 3) \(-\sqrt[6]{6a^3b^4}\); 4) \(-\sqrt[4]{a^5b^6}\); 5) \(\sqrt[6]{6b^6}\), если \(b \geqslant 0\), и \(-\sqrt[6]{6b^6}\), если \(b < 0\); 6) \(-\sqrt[6]{-a^7}\).
Внесите множитель под знак корня: 1) \(a\sqrt[4]{2}\), если \(a \geqslant 0\); 2) \(mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}\); 3) \(ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}\), если \(a > 0\), \(b < 0\); 4) \(ab\sqrt[4]{ab^2}\), если \(b \leqslant 0\); 5) \(b\sqrt[6]{6}\); 6) \(a\sqrt[6]{-a}\).
1) По условию \(a \geqslant 0\), поэтому \(a = \sqrt[4]{a^4}\) и \(a\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2a^4}\).
2) Корень имеет смысл, если \(\frac{1}{m^3n^3} > 0\), то есть при \(m^3n^3 > 0\), откуда \(mn > 0\). Тогда \(mn = \sqrt[4]{(mn)^4} = \sqrt[4]{m^4n^4}\) и
\[mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{m^4n^4 \cdot \frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{mn}.\]
3) Из условия \(a > 0\) и \(b < 0\) следует, что \(ab < 0\), поэтому \(ab = -\sqrt[6]{(ab)^6} = -\sqrt[6]{a^6b^6}\). Значит,
\[ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{6a^3b^4}.\]
4) Корень имеет смысл, если \(ab^2 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 0\) или при \(b = 0\). В обоих случаях из условия \(b \leqslant 0\) получаем \(ab \leqslant 0\), поэтому \(ab = -\sqrt[4]{(ab)^4} = -\sqrt[4]{a^4b^4}\). Значит,
\[ab\sqrt[4]{ab^2} = -\sqrt[4]{a^4b^4 \cdot ab^2} = -\sqrt[4]{a^5b^6}.\]
5) Знак числа \(b\) не задан, поэтому рассмотрим два случая.
Если \(b \geqslant 0\), то \(b = \sqrt[6]{b^6}\) и \(b\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{6b^6}\).
Если \(b < 0\), то \(b = -\sqrt[6]{b^6}\) и \(b\sqrt[6]{6} = -\sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{6} = -\sqrt[6]{6b^6}\).
6) Корень имеет смысл, если \(-a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\). Тогда \(a = -\sqrt[6]{a^6}\) и
\[a\sqrt[6]{-a} = -\sqrt[6]{a^6 \cdot (-a)} = -\sqrt[6]{-a^7}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt[4]{2a^4}\); 2) \(\sqrt[4]{mn}\); 3) \(-\sqrt[6]{6a^3b^4}\); 4) \(-\sqrt[4]{a^5b^6}\); 5) \(\sqrt[6]{6b^6}\), если \(b \geqslant 0\), и \(-\sqrt[6]{6b^6}\), если \(b < 0\); 6) \(-\sqrt[6]{-a^7}\).
