Страница 99 номер 12.20, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{32a^6}\), если \(a \leqslant 0\); 2) \(\sqrt[4]{-625a^5}\); 3) \(\sqrt[6]{a^7b^7}\), если \(a < 0\), \(b < 0\); 4) \(\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}\), если \(a > 0\).
1) \(32a^6 = (2a)^4 \cdot 2a^2\), где \(2a^2 \geqslant 0\); \(a \leqslant 0\), поэтому \(|2a| = -2a\): \[\sqrt[4]{32a^6} = |2a| \cdot \sqrt[4]{2a^2} = -2a\sqrt[4]{2a^2}.\]
2) ОДЗ: \(-625a^5 \geqslant 0\), то есть \(a \leqslant 0\). Имеем \(-625a^5 = (5a)^4 \cdot (-a)\), где \(-a \geqslant 0\), а \(|5a| = -5a\): \[\sqrt[4]{-625a^5} = |5a| \cdot \sqrt[4]{-a} = -5a\sqrt[4]{-a}.\]
3) \(a < 0\) и \(b < 0\), поэтому \(ab > 0\) и \(|ab| = ab\); \(a^7b^7 = (ab)^6 \cdot ab\), значит, \[\sqrt[6]{a^7b^7} = |ab| \cdot \sqrt[6]{ab} = ab\sqrt[6]{ab}.\]
4) \(a > 0\), значит, \(a^{20} > 0\), и из \(a^{20}b^{19} \geqslant 0\) следует \(b \geqslant 0\).
\(a^{20}b^{19} = \left(a^3b^3\right)^6 \cdot a^2b\), где \(a^2b \geqslant 0\) и \(a^3b^3 \geqslant 0\): \[\sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \left|a^3b^3\right| \cdot \sqrt[6]{a^2b} = a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}.\]
Ответ: 1) \(-2a\sqrt[4]{2a^2}\); 2) \(-5a\sqrt[4]{-a}\); 3) \(ab\sqrt[6]{ab}\); 4) \(a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}\).
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{32a^6}\), если \(a \leqslant 0\); 2) \(\sqrt[4]{-625a^5}\); 3) \(\sqrt[6]{a^7b^7}\), если \(a < 0\), \(b < 0\); 4) \(\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}\), если \(a > 0\).
1) Имеем \(32a^6 = 16a^4 \cdot 2a^2 = (2a)^4 \cdot 2a^2\), где \(2a^2 \geqslant 0\). По условию \(a \leqslant 0\), поэтому \(|2a| = -2a\): \[\sqrt[4]{32a^6} = |2a| \cdot \sqrt[4]{2a^2} = -2a\sqrt[4]{2a^2}.\]
2) Корень имеет смысл, если \(-625a^5 \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\). Имеем \(-625a^5 = 625a^4 \cdot (-a) = (5a)^4 \cdot (-a)\), где \(-a \geqslant 0\). Так как \(a \leqslant 0\), то \(|5a| = -5a\): \[\sqrt[4]{-625a^5} = |5a| \cdot \sqrt[4]{-a} = -5a\sqrt[4]{-a}.\]
3) По условию \(a < 0\) и \(b < 0\), поэтому \(ab > 0\) и \(|ab| = ab\). Имеем \(a^7b^7 = (ab)^6 \cdot ab\), значит, \[\sqrt[6]{a^7b^7} = |ab| \cdot \sqrt[6]{ab} = ab\sqrt[6]{ab}.\]
4) По условию \(a > 0\), значит, \(a^{20} > 0\), и из условия \(a^{20}b^{19} \geqslant 0\) следует, что \(b \geqslant 0\).
Имеем \(a^{20}b^{19} = a^{18}b^{18} \cdot a^2b = \left(a^3b^3\right)^6 \cdot a^2b\), где \(a^2b \geqslant 0\) и \(a^3b^3 \geqslant 0\). Значит, \[\sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \left|a^3b^3\right| \cdot \sqrt[6]{a^2b} = a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}.\]
Ответ: 1) \(-2a\sqrt[4]{2a^2}\); 2) \(-5a\sqrt[4]{-a}\); 3) \(ab\sqrt[6]{ab}\); 4) \(a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}\).
