Страница 99 номер 12.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{-m^9}\); 2) \(\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}\); 3) \(\sqrt[4]{a^8b^{13}}\), если \(a > 0\); 4) \(\sqrt[6]{x^6y^7}\), если \(x \ne 0\); 5) \(\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}\); 6) \(\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}\).
1) ОДЗ: \(-m^9 \geqslant 0\), то есть \(m \leqslant 0\). Имеем \(-m^9 = \left(m^2\right)^4 \cdot (-m)\), где \(-m \geqslant 0\) и \(m^2 \geqslant 0\): \[\sqrt[4]{-m^9} = \left|m^2\right| \cdot \sqrt[4]{-m} = m^2\sqrt[4]{-m}.\]
2) ОДЗ: \(32m^{18}n^{17} \geqslant 0\); так как \(32 > 0\) и \(m^{18} \geqslant 0\), отсюда \(n \geqslant 0\).
\(32m^{18}n^{17} = \left(2m^4n^4\right)^4 \cdot 2m^2n\), где \(2m^2n \geqslant 0\), \(m^4 \geqslant 0\) и \(n^4 \geqslant 0\): \[\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \left|2m^4n^4\right| \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}.\]
3) \(a > 0\), значит, \(a^8 > 0\), и из \(a^8b^{13} \geqslant 0\) следует \(b \geqslant 0\).
\(a^8b^{13} = \left(a^2b^3\right)^4 \cdot b\), причём \(a^2b^3 \geqslant 0\): \[\sqrt[4]{a^8b^{13}} = \left|a^2b^3\right| \cdot \sqrt[4]{b} = a^2b^3\sqrt[4]{b}.\]
4) \(x \ne 0\), значит, \(x^6 > 0\), и из \(x^6y^7 \geqslant 0\) следует \(y \geqslant 0\).
\(x^6y^7 = (xy)^6 \cdot y\), поэтому \[\sqrt[6]{x^6y^7} = |xy| \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot y\sqrt[6]{y}.\]
5) ОДЗ: \(a^{15}b^{15} = (ab)^{15} \geqslant 0\), то есть \(ab \geqslant 0\); тогда и \(a^3b^3 = (ab)^3 \geqslant 0\).
\(a^{15}b^{15} = \left(a^3b^3\right)^4 \cdot a^3b^3\), поэтому \[\sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \left|a^3b^3\right| \cdot \sqrt[4]{a^3b^3} = a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}.\]
6) ОДЗ: \(-a^{25}b^{50} \geqslant 0\); так как \(b^{50} \geqslant 0\), отсюда \(a \leqslant 0\), а тогда \(a^3 \leqslant 0\), \(b^6 \geqslant 0\) и \(a^3b^6 \leqslant 0\).
\(-a^{25}b^{50} = \left(a^3b^6\right)^8 \cdot \left(-ab^2\right)\), где \(-ab^2 \geqslant 0\): \[\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} = \left|a^3b^6\right| \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = -a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}.\]
Ответ: 1) \(m^2\sqrt[4]{-m}\); 2) \(2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}\); 3) \(a^2b^3\sqrt[4]{b}\); 4) \(|x| \cdot y\sqrt[6]{y}\); 5) \(a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}\); 6) \(-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}\).
Вынесите множитель из-под знака корня: 1) \(\sqrt[4]{-m^9}\); 2) \(\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}\); 3) \(\sqrt[4]{a^8b^{13}}\), если \(a > 0\); 4) \(\sqrt[6]{x^6y^7}\), если \(x \ne 0\); 5) \(\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}\); 6) \(\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}\).
1) Корень имеет смысл, если \(-m^9 \geqslant 0\), то есть при \(m \leqslant 0\). Выделим под корнем четвёртую степень: \(-m^9 = m^8 \cdot (-m) = \left(m^2\right)^4 \cdot (-m)\), где \(\left(m^2\right)^4 \geqslant 0\) и \(-m \geqslant 0\). Так как \(m^2 \geqslant 0\), то \[\sqrt[4]{-m^9} = \left|m^2\right| \cdot \sqrt[4]{-m} = m^2\sqrt[4]{-m}.\]
2) Корень имеет смысл, если \(32m^{18}n^{17} \geqslant 0\). Так как \(32 > 0\) и \(m^{18} \geqslant 0\), из условия следует, что \(n \geqslant 0\).
Имеем \(32m^{18}n^{17} = 16m^{16}n^{16} \cdot 2m^2n = \left(2m^4n^4\right)^4 \cdot 2m^2n\), где \(2m^2n \geqslant 0\). Так как \(m^4 \geqslant 0\) и \(n^4 \geqslant 0\), то \[\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \left|2m^4n^4\right| \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}.\]
3) По условию \(a > 0\), значит, \(a^8 > 0\), и из условия \(a^8b^{13} \geqslant 0\) следует, что \(b \geqslant 0\).
Имеем \(a^8b^{13} = a^8b^{12} \cdot b = \left(a^2b^3\right)^4 \cdot b\), причём \(a^2b^3 \geqslant 0\): \[\sqrt[4]{a^8b^{13}} = \left|a^2b^3\right| \cdot \sqrt[4]{b} = a^2b^3\sqrt[4]{b}.\]
4) По условию \(x \ne 0\), значит, \(x^6 > 0\), и из условия \(x^6y^7 \geqslant 0\) следует, что \(y \geqslant 0\).
Имеем \(x^6y^7 = (xy)^6 \cdot y\), поэтому \[\sqrt[6]{x^6y^7} = |xy| \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot y\sqrt[6]{y}.\]
5) Корень имеет смысл, если \(a^{15}b^{15} = (ab)^{15} \geqslant 0\), то есть при \(ab \geqslant 0\). Тогда и \(a^3b^3 = (ab)^3 \geqslant 0\).
Имеем \(a^{15}b^{15} = a^{12}b^{12} \cdot a^3b^3 = \left(a^3b^3\right)^4 \cdot a^3b^3\), поэтому \[\sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \left|a^3b^3\right| \cdot \sqrt[4]{a^3b^3} = a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}.\]
6) Корень имеет смысл, если \(-a^{25}b^{50} \geqslant 0\). Так как \(b^{50} \geqslant 0\), из условия следует, что \(a \leqslant 0\), а тогда \(a^3 \leqslant 0\), \(b^6 \geqslant 0\) и \(a^3b^6 \leqslant 0\).
Имеем \(-a^{25}b^{50} = a^{24}b^{48} \cdot \left(-ab^2\right) = \left(a^3b^6\right)^8 \cdot \left(-ab^2\right)\), где \(-ab^2 \geqslant 0\). Значит, \[\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} = \left|a^3b^6\right| \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = -a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}.\]
Ответ: 1) \(m^2\sqrt[4]{-m}\); 2) \(2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}\); 3) \(a^2b^3\sqrt[4]{b}\); 4) \(|x| \cdot y\sqrt[6]{y}\); 5) \(a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}\); 6) \(-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}\).
