Страница 98 номер 12.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите: 1) \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}\); 2) \(\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}}\); 3) \(\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}\).
1) \[\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{2^4} = 2.\]
2) \[\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}} = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{1}{2}\right)^5} = \frac{1}{2}.\]
3) \(6\sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} > \sqrt{100} = 10\), поэтому оба множителя положительны: \[\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{\left(6\sqrt{3}\right)^2 - 10^2} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8} = 2.\]
Ответ: 1) \(2\); 2) \(\frac{1}{2}\); 3) \(2\).
Найдите: 1) \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}\); 2) \(\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}}\); 3) \(\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}\).
1) Числа 2 и 8 положительны, поэтому применима теорема о корне из произведения: \[\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{2^4} = 2.\]
2) Числитель неотрицателен, знаменатель положителен, поэтому применима теорема о корне из дроби: \[\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}} = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{1}{2}\right)^5} = \frac{1}{2}.\]
3) Проверим знаки подкоренных выражений: \(6\sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} > \sqrt{100} = 10\), поэтому \(6\sqrt{3} + 10 > 0\) и \(6\sqrt{3} - 10 > 0\). Оба множителя положительны, и по теореме о корне из произведения \[\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{\left(6\sqrt{3}\right)^2 - 10^2} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8} = 2.\]
Ответ: 1) \(2\); 2) \(\frac{1}{2}\); 3) \(2\).
