Страница 99 номер 12.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[4]{625a^{24}}\); 2) \(\sqrt[4]{0{,}0001b^{20}}\), если \(b \geqslant 0\); 3) \(\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}\), если \(p \geqslant 0\); 4) \(\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}\), если \(m \leqslant 0\), \(n \leqslant 0\).
1) \(625a^{24} = \left(5a^6\right)^4\), а \(5a^6 \geqslant 0\) при любом \(a\): \[\sqrt[4]{625a^{24}} = \sqrt[4]{\left(5a^6\right)^4} = \left|5a^6\right| = 5a^6.\]
2) \(0{,}0001b^{20} = \left(0{,}1b^5\right)^4\), а \(b \geqslant 0\), поэтому \(b^5 \geqslant 0\): \[\sqrt[4]{0{,}0001b^{20}} = \sqrt[4]{\left(0{,}1b^5\right)^4} = \left|0{,}1b^5\right| = 0{,}1b^5.\]
3) \(p^{30}q^{40} = \left(p^3q^4\right)^{10}\); из \(p \geqslant 0\) следует \(p^3 \geqslant 0\), а \(q^4 \geqslant 0\) при любом \(q\), поэтому \(p^3q^4 \geqslant 0\): \[\sqrt[10]{p^{30}q^{40}} = \sqrt[10]{\left(p^3q^4\right)^{10}} = \left|p^3q^4\right| = p^3q^4.\]
4) \(m^{36}n^{60} = \left(m^3n^5\right)^{12}\); из \(m \leqslant 0\) и \(n \leqslant 0\) следует \(m^3 \leqslant 0\) и \(n^5 \leqslant 0\), а тогда \(m^3n^5 \geqslant 0\): \[\sqrt[12]{m^{36}n^{60}} = \sqrt[12]{\left(m^3n^5\right)^{12}} = \left|m^3n^5\right| = m^3n^5.\]
Ответ: 1) \(5a^6\); 2) \(0{,}1b^5\); 3) \(p^3q^4\); 4) \(m^3n^5\).
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[4]{625a^{24}}\); 2) \(\sqrt[4]{0{,}0001b^{20}}\), если \(b \geqslant 0\); 3) \(\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}\), если \(p \geqslant 0\); 4) \(\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}\), если \(m \leqslant 0\), \(n \leqslant 0\).
1) Так как \(625 = 5^4\) и \(a^{24} = \left(a^6\right)^4\), а число \(5a^6\) неотрицательно при любом \(a\), то \[\sqrt[4]{625a^{24}} = \sqrt[4]{\left(5a^6\right)^4} = \left|5a^6\right| = 5a^6.\]
2) Так как \(0{,}0001 = 0{,}1^4\) и \(b^{20} = \left(b^5\right)^4\), то \(0{,}0001b^{20} = \left(0{,}1b^5\right)^4\). По условию \(b \geqslant 0\), поэтому \(b^5 \geqslant 0\): \[\sqrt[4]{0{,}0001b^{20}} = \sqrt[4]{\left(0{,}1b^5\right)^4} = \left|0{,}1b^5\right| = 0{,}1b^5.\]
3) Имеем \(p^{30}q^{40} = \left(p^3q^4\right)^{10}\). По условию \(p \geqslant 0\), значит, \(p^3 \geqslant 0\); кроме того, \(q^4 \geqslant 0\) при любом \(q\), поэтому \(p^3q^4 \geqslant 0\): \[\sqrt[10]{p^{30}q^{40}} = \sqrt[10]{\left(p^3q^4\right)^{10}} = \left|p^3q^4\right| = p^3q^4.\]
4) Имеем \(m^{36}n^{60} = \left(m^3n^5\right)^{12}\). Из условия \(m \leqslant 0\) и \(n \leqslant 0\) следует, что \(m^3 \leqslant 0\) и \(n^5 \leqslant 0\), а тогда \(m^3n^5 \geqslant 0\): \[\sqrt[12]{m^{36}n^{60}} = \sqrt[12]{\left(m^3n^5\right)^{12}} = \left|m^3n^5\right| = m^3n^5.\]
Ответ: 1) \(5a^6\); 2) \(0{,}1b^5\); 3) \(p^3q^4\); 4) \(m^3n^5\).
