Страница 99 номер 12.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[8]{256k^8}\), если \(k \leqslant 0\); 2) \(\sqrt[6]{c^{24}}\); 3) \(\sqrt[4]{81x^8y^4}\), если \(y \geqslant 0\); 4) \(-1{,}2x\sqrt[6]{64x^{30}}\), если \(x \leqslant 0\).
1) \(256k^8 = (2k)^8\), а \(k \leqslant 0\), поэтому \(|k| = -k\): \[\sqrt[8]{256k^8} = \sqrt[8]{(2k)^8} = |2k| = 2|k| = -2k.\]
2) \(c^{24} = \left(c^4\right)^6\), а \(c^4 \geqslant 0\) при любом \(c\): \[\sqrt[6]{c^{24}} = \sqrt[6]{\left(c^4\right)^6} = \left|c^4\right| = c^4.\]
3) \(81x^8y^4 = \left(3x^2y\right)^4\), а \(y \geqslant 0\), поэтому \(|y| = y\): \[\sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{\left(3x^2y\right)^4} = \left|3x^2y\right| = 3x^2|y| = 3x^2y.\]
4) \(64x^{30} = \left(2x^5\right)^6\), а \(x \leqslant 0\), поэтому \(x^5 \leqslant 0\) и \(\left|x^5\right| = -x^5\): \[\sqrt[6]{64x^{30}} = \sqrt[6]{\left(2x^5\right)^6} = \left|2x^5\right| = 2\left|x^5\right| = -2x^5.\]
Тогда \(-1{,}2x\sqrt[6]{64x^{30}} = -1{,}2x \cdot \left(-2x^5\right) = 2{,}4x^6\).
Ответ: 1) \(-2k\); 2) \(c^4\); 3) \(3x^2y\); 4) \(2{,}4x^6\).
Упростите выражение: 1) \(\sqrt[8]{256k^8}\), если \(k \leqslant 0\); 2) \(\sqrt[6]{c^{24}}\); 3) \(\sqrt[4]{81x^8y^4}\), если \(y \geqslant 0\); 4) \(-1{,}2x\sqrt[6]{64x^{30}}\), если \(x \leqslant 0\).
1) Так как \(256 = 2^8\), то \(256k^8 = (2k)^8\). По условию \(k \leqslant 0\), поэтому \(|k| = -k\): \[\sqrt[8]{256k^8} = \sqrt[8]{(2k)^8} = |2k| = 2|k| = -2k.\]
2) Так как \(c^{24} = \left(c^4\right)^6\), а \(c^4 \geqslant 0\) при любом \(c\), то \[\sqrt[6]{c^{24}} = \sqrt[6]{\left(c^4\right)^6} = \left|c^4\right| = c^4.\]
3) Так как \(81 = 3^4\) и \(x^8 = \left(x^2\right)^4\), то \(81x^8y^4 = \left(3x^2y\right)^4\). По условию \(y \geqslant 0\), поэтому \(|y| = y\): \[\sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{\left(3x^2y\right)^4} = \left|3x^2y\right| = 3x^2|y| = 3x^2y.\]
4) Так как \(64 = 2^6\) и \(x^{30} = \left(x^5\right)^6\), то \(64x^{30} = \left(2x^5\right)^6\). По условию \(x \leqslant 0\), поэтому \(x^5 \leqslant 0\) и \(\left|x^5\right| = -x^5\): \[\sqrt[6]{64x^{30}} = \sqrt[6]{\left(2x^5\right)^6} = \left|2x^5\right| = 2\left|x^5\right| = -2x^5.\]
Значит, \(-1{,}2x\sqrt[6]{64x^{30}} = -1{,}2x \cdot \left(-2x^5\right) = 2{,}4x^6\).
Ответ: 1) \(-2k\); 2) \(c^4\); 3) \(3x^2y\); 4) \(2{,}4x^6\).
