Страница 99 номер 12.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях \(x\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2}\); 2) \(\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x}\)?
1) Правая часть имеет смысл при \(x - 2 \geqslant 0\) и \(x + 2 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 2\); тогда оба числа неотрицательны и \[\sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2} = \sqrt[4]{(x - 2)(x + 2)} = \sqrt[4]{x^2 - 4}.\]
Левая часть имеет смысл при \(x^2 - 4 \geqslant 0\), то есть ещё и при \(x \leqslant -2\), но тогда \(x - 2\) отрицательно и правая часть смысла не имеет. Значит, равенство выполняется при всех \(x \geqslant 2\).
2) Правая часть имеет смысл при \(x - 3 \geqslant 0\) и \(7 - x \geqslant 0\), то есть при \(3 \leqslant x \leqslant 7\); при этих же \(x\) произведение \((x - 3)(7 - x)\) неотрицательно, значит, имеет смысл и левая часть.
Числа \(x - 3\) и \(7 - x\) неотрицательны, поэтому \[\sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x} = \sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)}.\]
При остальных \(x\) правая часть смысла не имеет, и равенство не выполняется.
Ответ: 1) \(x \in [2;\ +\infty)\); 2) \(x \in [3;\ 7]\).
При каких значениях \(x\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2}\); 2) \(\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x}\)?
1) Правая часть равенства имеет смысл, если \(x - 2 \geqslant 0\) и \(x + 2 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 2\).
Если \(x \geqslant 2\), то оба числа \(x - 2\) и \(x + 2\) неотрицательны, а корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней: \[\sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2} = \sqrt[4]{(x - 2)(x + 2)} = \sqrt[4]{x^2 - 4}.\]
Значит, при всех \(x \geqslant 2\) равенство выполняется.
Левая часть имеет смысл при \(x^2 - 4 \geqslant 0\), то есть ещё и при \(x \leqslant -2\). Но при \(x \leqslant -2\) выражение \(x - 2\) отрицательно и правая часть не имеет смысла, поэтому равенство не выполняется.
2) Правая часть имеет смысл, если \(x - 3 \geqslant 0\) и \(7 - x \geqslant 0\), то есть при \(3 \leqslant x \leqslant 7\). При этих же значениях \(x\) произведение \((x - 3)(7 - x)\) неотрицательно, значит, имеет смысл и левая часть.
Если \(3 \leqslant x \leqslant 7\), то числа \(x - 3\) и \(7 - x\) неотрицательны, поэтому \[\sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x} = \sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)}.\]
При остальных значениях \(x\) правая часть не имеет смысла, и равенство не выполняется.
Ответ: 1) \(x \in [2;\ +\infty)\); 2) \(x \in [3;\ 7]\).
