Страница 99 номер 12.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях \(a\) и \(b\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}\); 2) \(\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}\); 3) \(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}\)?
1) Правая часть определена только при \(-a \geqslant 0\) и \(-b \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\). При таких \(a\) и \(b\) произведение \(ab = (-a)(-b)\) неотрицательно, левая часть тоже определена, и для неотрицательных множителей \(-a\) и \(-b\) получаем \(\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}\).
Равенство выполняется при \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\).
2) Правая часть определена только при \(a \geqslant 0\) и \(-b \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 0\) и \(b \leqslant 0\). При таких \(a\) и \(b\) имеем \(-ab = a \cdot (-b) \geqslant 0\), левая часть определена, и \(\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}\).
Равенство выполняется при \(a \geqslant 0\) и \(b \leqslant 0\).
3) Обе части определены при любых \(a\) и \(b\): корень пятой степени существует из любого числа.
Так как \(\sqrt[5]{-a} = -\sqrt[5]{a}\) и \(\sqrt[5]{-b} = -\sqrt[5]{b}\), правая часть равна \(\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}\); остаётся проверить равенство \(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}\), разобрав знаки \(a\) и \(b\).
При \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\) это теорема о корне из произведения.
При \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\) по следствию из неё
\[\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \left(-\sqrt[5]{a}\right)\left(-\sqrt[5]{b}\right) = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}.\]
При разных знаках, например \(a \geqslant 0\) и \(b < 0\), имеем \(ab \leqslant 0\), \(-b > 0\), и, вынося минус из-под знака корня нечётной степени,
\[\sqrt[5]{ab} = -\sqrt[5]{a \cdot (-b)} = -\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}.\]
Случай \(a < 0\), \(b \geqslant 0\) разбирается так же. Значит, равенство выполняется при любых \(a\) и \(b\).
Ответ: 1) \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\); 2) \(a \geqslant 0\) и \(b \leqslant 0\); 3) при любых \(a\) и \(b\).
При каких значениях \(a\) и \(b\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}\); 2) \(\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}\); 3) \(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}\)?
1) Правая часть определена только при \(-a \geqslant 0\) и \(-b \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\).
При таких \(a\) и \(b\) произведение \(ab = (-a)(-b)\) неотрицательно, левая часть тоже определена, и по теореме о корне из произведения для неотрицательных множителей \(-a\) и \(-b\) получаем \(\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}\).
Значит, равенство выполняется при \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\).
2) Правая часть определена только при \(a \geqslant 0\) и \(-b \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 0\) и \(b \leqslant 0\).
При таких \(a\) и \(b\) имеем \(-ab = a \cdot (-b) \geqslant 0\), левая часть определена, и по теореме о корне из произведения \(\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}\).
Значит, равенство выполняется при \(a \geqslant 0\) и \(b \leqslant 0\).
3) Корень пятой степени существует при любом значении подкоренного выражения, поэтому обе части определены при любых \(a\) и \(b\).
Так как \(\sqrt[5]{-a} = -\sqrt[5]{a}\) и \(\sqrt[5]{-b} = -\sqrt[5]{b}\), правая часть равна \(\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}\). Остаётся проверить равенство \(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}\), разобрав знаки \(a\) и \(b\).
Если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), это теорема о корне из произведения.
Если \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\), то по следствию из неё
\[\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \left(-\sqrt[5]{a}\right)\left(-\sqrt[5]{b}\right) = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}.\]
Если множители разных знаков, например \(a \geqslant 0\) и \(b < 0\), то \(ab \leqslant 0\), \(-b > 0\), и, вынося минус из-под знака корня нечётной степени, получаем:
\[\sqrt[5]{ab} = -\sqrt[5]{a \cdot (-b)} = -\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}.\]
Случай \(a < 0\), \(b \geqslant 0\) разбирается так же. Значит, равенство выполняется при любых \(a\) и \(b\).
Ответ: 1) \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\); 2) \(a \geqslant 0\) и \(b \leqslant 0\); 3) при любых \(a\) и \(b\).
