Страница 99 номер 12.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях \(a\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[6]{a^{30}} = a^5\); 2) \(\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5\); 3) \(\sqrt[4]{a^4} = \left(\sqrt[4]{a}\right)^4\); 4) \(\sqrt[4]{a^4} = \left(\sqrt[4]{-a}\right)^4\)?
1) \(\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{\left(a^5\right)^6} = \left|a^5\right|\) при любом \(a\); равенство \(\left|a^5\right| = a^5\) выполняется тогда и только тогда, когда \(a^5 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 0\).
2) Снова \(\sqrt[6]{a^{30}} = \left|a^5\right|\); равенство \(\left|a^5\right| = -a^5\) выполняется тогда и только тогда, когда \(a^5 \leqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\).
3) Левая часть определена при всех \(a\): \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\); правая — только при \(a \geqslant 0\): \(\left(\sqrt[4]{a}\right)^4 = a\). При \(a \geqslant 0\) имеем \(|a| = a\) — равенство верно; при \(a < 0\) правая часть смысла не имеет.
4) Правая часть определена при \(-a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\): \(\left(\sqrt[4]{-a}\right)^4 = -a\). При \(a \leqslant 0\) левая часть равна \(\sqrt[4]{a^4} = |a| = -a\) — равенство верно; при \(a > 0\) правая часть смысла не имеет.
Ответ: 1) \(a \geqslant 0\); 2) \(a \leqslant 0\); 3) \(a \geqslant 0\); 4) \(a \leqslant 0\).
При каких значениях \(a\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[6]{a^{30}} = a^5\); 2) \(\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5\); 3) \(\sqrt[4]{a^4} = \left(\sqrt[4]{a}\right)^4\); 4) \(\sqrt[4]{a^4} = \left(\sqrt[4]{-a}\right)^4\)?
1) По теореме о корне из степени \(\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{\left(a^5\right)^6} = \left|a^5\right|\) при любом \(a\).
Равенство \(\left|a^5\right| = a^5\) выполняется тогда и только тогда, когда \(a^5 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 0\).
2) Как и в пункте 1), \(\sqrt[6]{a^{30}} = \left|a^5\right|\). Равенство \(\left|a^5\right| = -a^5\) выполняется тогда и только тогда, когда \(a^5 \leqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\).
3) Левая часть определена при всех \(a\), и \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\).
Правая часть определена только при \(a \geqslant 0\), и тогда \(\left(\sqrt[4]{a}\right)^4 = a\).
При \(a \geqslant 0\) имеем \(|a| = a\) — равенство верно; при \(a < 0\) правая часть смысла не имеет.
4) Правая часть определена при \(-a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\), и тогда \(\left(\sqrt[4]{-a}\right)^4 = -a\).
При \(a \leqslant 0\) левая часть равна \(\sqrt[4]{a^4} = |a| = -a\) — равенство верно; при \(a > 0\) правая часть смысла не имеет.
Ответ: 1) \(a \geqslant 0\); 2) \(a \leqslant 0\); 3) \(a \geqslant 0\); 4) \(a \leqslant 0\).
