Страница 99 номер 12.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях \(a\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[3]{(a - 5)^4} = \left(\sqrt[3]{a - 5}\right)^4\); 2) \(\sqrt[4]{(a - 2)^4} = \left(\sqrt[4]{a - 2}\right)^4\); 3) \(\sqrt[6]{a(a - 1)} = \sqrt[6]{a}\,\sqrt[6]{(1 - a)}\); 4) \(\sqrt[12]{a - 2}\,\sqrt[12]{3 - a} = \sqrt[12]{(2 - a)(a - 3)}\)?
1) Обе части имеют смысл при всех \(a\): корень третьей степени существует из любого числа.
При \(a - 5 \geqslant 0\) это теорема о степени корня.
При \(a - 5 < 0\) имеем \(\sqrt[3]{a - 5} = -\sqrt[3]{5 - a}\), где \(5 - a > 0\), и, так как четвёртые степени противоположных чисел равны, \[\left(\sqrt[3]{a - 5}\right)^4 = \left(\sqrt[3]{5 - a}\right)^4 = \sqrt[3]{(5 - a)^4} = \sqrt[3]{(a - 5)^4}.\]
Равенство верно при любом \(a\).
2) Левая часть определена при всех \(a\): \(\sqrt[4]{(a - 2)^4} = |a - 2|\); правая — только при \(a - 2 \geqslant 0\): \(\left(\sqrt[4]{a - 2}\right)^4 = a - 2\).
При \(a \geqslant 2\) имеем \(|a - 2| = a - 2\) — равенство верно; при \(a < 2\) правая часть смысла не имеет.
3) Левая часть определена при \(a(a - 1) \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\) или \(a \geqslant 1\); правая — при \(a \geqslant 0\) и \(1 - a \geqslant 0\), то есть при \(0 \leqslant a \leqslant 1\).
Обе части имеют смысл только при \(a = 0\) и при \(a = 1\), и обе равны нулю: \(\sqrt[6]{0 \cdot (-1)} = 0\) и \(\sqrt[6]{0} \cdot \sqrt[6]{1} = 0\); \(\sqrt[6]{1 \cdot 0} = 0\) и \(\sqrt[6]{1} \cdot \sqrt[6]{0} = 0\).
4) Левая часть определена при \(a - 2 \geqslant 0\) и \(3 - a \geqslant 0\), то есть при \(2 \leqslant a \leqslant 3\); на этом промежутке оба подкоренных выражения неотрицательны и \(\sqrt[12]{a - 2} \cdot \sqrt[12]{3 - a} = \sqrt[12]{(a - 2)(3 - a)}\).
Подкоренное выражение правой части такое же: \((2 - a)(a - 3) = (a - 2)(3 - a)\), поэтому правая часть определена при тех же \(a\) и совпадает с левой.
Ответ: 1) при любом \(a\); 2) \(a \geqslant 2\); 3) \(a = 0\) и \(a = 1\); 4) \(2 \leqslant a \leqslant 3\).
При каких значениях \(a\) выполняется равенство: 1) \(\sqrt[3]{(a - 5)^4} = \left(\sqrt[3]{a - 5}\right)^4\); 2) \(\sqrt[4]{(a - 2)^4} = \left(\sqrt[4]{a - 2}\right)^4\); 3) \(\sqrt[6]{a(a - 1)} = \sqrt[6]{a}\,\sqrt[6]{(1 - a)}\); 4) \(\sqrt[12]{a - 2}\,\sqrt[12]{3 - a} = \sqrt[12]{(2 - a)(a - 3)}\)?
1) Корень третьей степени существует при любом значении подкоренного выражения, поэтому обе части имеют смысл при всех \(a\).
Если \(a - 5 \geqslant 0\), то равенство \(\sqrt[3]{(a - 5)^4} = \left(\sqrt[3]{a - 5}\right)^4\) — это теорема о степени корня.
Если \(a - 5 < 0\), то \(\sqrt[3]{a - 5} = -\sqrt[3]{5 - a}\), где \(5 - a > 0\), и, так как четвёртые степени противоположных чисел равны, \[\left(\sqrt[3]{a - 5}\right)^4 = \left(\sqrt[3]{5 - a}\right)^4 = \sqrt[3]{(5 - a)^4} = \sqrt[3]{(a - 5)^4}.\]
Равенство верно при любом \(a\).
2) Левая часть определена при всех \(a\), и по теореме о корне из степени \(\sqrt[4]{(a - 2)^4} = |a - 2|\).
Правая часть определена только при \(a - 2 \geqslant 0\), и тогда \(\left(\sqrt[4]{a - 2}\right)^4 = a - 2\).
При \(a \geqslant 2\) имеем \(|a - 2| = a - 2\) — равенство верно; при \(a < 2\) правая часть смысла не имеет.
3) Левая часть определена при \(a(a - 1) \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 0\) или \(a \geqslant 1\).
Правая часть определена при \(a \geqslant 0\) и \(1 - a \geqslant 0\), то есть при \(0 \leqslant a \leqslant 1\).
Обе части имеют смысл только при \(a = 0\) и при \(a = 1\). При \(a = 0\) обе части равны нулю: \(\sqrt[6]{0 \cdot (-1)} = 0\) и \(\sqrt[6]{0} \cdot \sqrt[6]{1} = 0\). При \(a = 1\) обе части тоже равны нулю: \(\sqrt[6]{1 \cdot 0} = 0\) и \(\sqrt[6]{1} \cdot \sqrt[6]{0} = 0\).
4) Левая часть определена, когда неотрицательны оба подкоренных выражения: \(a - 2 \geqslant 0\) и \(3 - a \geqslant 0\), то есть при \(2 \leqslant a \leqslant 3\). На этом промежутке оба подкоренных выражения неотрицательны, и по теореме о корне из произведения \(\sqrt[12]{a - 2} \cdot \sqrt[12]{3 - a} = \sqrt[12]{(a - 2)(3 - a)}\).
Подкоренное выражение правой части равно тому же: \((2 - a)(a - 3) = (a - 2)(3 - a)\), поэтому правая часть определена при тех же значениях \(a\) и совпадает с левой.
Ответ: 1) при любом \(a\); 2) \(a \geqslant 2\); 3) \(a = 0\) и \(a = 1\); 4) \(2 \leqslant a \leqslant 3\).
