Страница 98 номер 12.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Дробь имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\).

Так как \(\left(\sqrt[6]{a}\right)^2 = \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}\), знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: \[\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} - 1} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\left(\sqrt[6]{a} - 1\right)\left(\sqrt[6]{a} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}.\]

2) Дробь имеет смысл при \(m \geqslant 0\), \(n > 0\) и \(m \ne n\): знаменатель \(\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n} = \sqrt[4]{n}\left(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}\right)\) не должен обращаться в нуль.

Так как \(\sqrt{m} = \left(\sqrt[4]{m}\right)^2\), \(\sqrt{n} = \left(\sqrt[4]{n}\right)^2\) и \(\sqrt[4]{mn} = \sqrt[4]{m} \cdot \sqrt[4]{n}\), получаем: \[\frac{\sqrt{m} - \sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt[4]{m}\left(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}\right)}{\sqrt[4]{n}\left(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}\right)} = \frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}} = \sqrt[4]{\frac{m}{n}}.\]

3) Корень третьей степени существует при любом значении подкоренного выражения, поэтому дробь имеет смысл при \(a \ne b\).

Для корня нечётной степени равенства \(\left(\sqrt[3]{a}\right)^2 = \sqrt[3]{a^2}\) и \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}\) верны при любых знаках \(a\) и \(b\): для неотрицательных значений это теоремы о степени корня и о корне из произведения, а отрицательный множитель заменяется противоположным по правилу \(\sqrt[3]{-t} = -\sqrt[3]{t}\). Например, при \(a \geqslant 0\) и \(b < 0\) имеем \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = -\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{-b} = -\sqrt[3]{-ab} = \sqrt[3]{ab}\).

Разложим числитель по формуле разности кубов, взяв \(a = \left(\sqrt[3]{a}\right)^3\) и \(b = \left(\sqrt[3]{b}\right)^3\): \[a - b = \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right).\]

После сокращения дроби на \(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\) остаётся \(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\).

4) Дробь имеет смысл при \(a > 0\) и \(b > 0\) (знаменатель не равен нулю).

Так как \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), а числитель равен \(\sqrt{a}\sqrt{b}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\), получаем: \[\frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}.\]

5) Корень третьей степени существует при любом значении подкоренного выражения; знаменатель обращается в нуль при \(a = 0\), при \(b = 0\) и при \(b = -1\), поэтому дробь имеет смысл при \(a \ne 0\), \(b \ne 0\) и \(b \ne -1\).

Для корня нечётной степени равенство \(\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y}\) верно при любых знаках \(x\) и \(y\): для неотрицательных значений это теорема о корне из произведения, а отрицательный множитель заменяется противоположным по правилу \(\sqrt[3]{-t} = -\sqrt[3]{t}\).

Вынесем в числителе множитель \(\sqrt[3]{a}\), а в знаменателе — множитель \(\sqrt[3]{a^2b}\): \[\frac{\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b}} = \frac{\sqrt[3]{a}\left(\sqrt[3]{b} + 1\right)}{\sqrt[3]{a^2b}\left(\sqrt[3]{b} + 1\right)} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{ab}} = \frac{1}{\sqrt[3]{ab}}.\]

6) Так как \(3 = \left(\sqrt[4]{3}\right)^4\), числитель равен \(\sqrt[4]{3}\left(\left(\sqrt[4]{3}\right)^3 + 1\right) = \sqrt[4]{3}\left(\sqrt[4]{27} + 1\right)\). Значит, \[\frac{3 + \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}} = \frac{\sqrt[4]{3}\left(\sqrt[4]{27} + 1\right)}{\sqrt[4]{3}} = \sqrt[4]{27} + 1.\]

Ответ: 1) \(\frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}\); 2) \(\sqrt[4]{\frac{m}{n}}\); 3) \(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\); 4) \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\); 5) \(\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}\); 6) \(\sqrt[4]{27} + 1\).