Страница 98 номер 12.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Дробь имеет смысл при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), причём \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно (иначе знаменатель равен нулю).

По теореме о степени корня \(\left(\sqrt[4]{a}\right)^2 = \sqrt[4]{a^2}\), а по теореме о корне из степени показатели сокращаются на 2: \(\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}\); так же \(\left(\sqrt[4]{b}\right)^2 = \sqrt{b}\). Поэтому \[\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \frac{\left(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\right)}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}.\]

2) Дробь имеет смысл при \(x \geqslant 0\); знаменатель \(\sqrt[12]{x} + 3 \geqslant 3\), то есть в нуль не обращается.

Так как \(\left(\sqrt[12]{x}\right)^2 = \sqrt[12]{x^2} = \sqrt[6]{x}\), числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов: \[\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3} = \frac{\left(\sqrt[12]{x} - 3\right)\left(\sqrt[12]{x} + 3\right)}{\sqrt[12]{x} + 3} = \sqrt[12]{x} - 3.\]

3) Дробь имеет смысл при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\) и \(a \ne b\).

Разложим на множители числитель и знаменатель. Так как \(\sqrt[8]{b^2} = \sqrt[4]{b}\) и \(\sqrt[8]{a^2} = \sqrt[4]{a}\), то \(\sqrt[8]{ab^2} = \sqrt[8]{a} \cdot \sqrt[4]{b}\) и \(\sqrt[8]{a^2b} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[8]{b}\), поэтому числитель равен \[\sqrt[8]{a}\left(\sqrt[8]{b}\right)^2 - \left(\sqrt[8]{a}\right)^2\sqrt[8]{b} = \sqrt[8]{ab}\left(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a}\right).\]

Знаменатель равен \(\left(\sqrt[8]{a}\right)^2 - \left(\sqrt[8]{b}\right)^2 = \left(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}\right)\left(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}\right)\). Значит, \[\frac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} = \frac{-\sqrt[8]{ab}\left(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}\right)}{\left(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}\right)\left(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}\right)} = -\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}.\]

4) Корень третьей степени существует при любом значении подкоренного выражения, поэтому дробь имеет смысл при \(x \ne 64\).

Равенство \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 = \sqrt[3]{x^2}\) верно при любом \(x\): при \(x \geqslant 0\) это теорема о степени корня, а при \(x < 0\) имеем \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{-x}\right)^2 = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2}\).

Разложим знаменатель по формуле разности кубов, взяв \(x = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3\): \[x - 64 = \left(\sqrt[3]{x} - 4\right)\left(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16\right).\]

Второй множитель в нуль не обращается: при \(t = \sqrt[3]{x}\) имеем \(t^2 + 4t + 16 = (t + 2)^2 + 12 > 0\). Сокращая дробь на него, получаем \(\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}\).

5) Дробь имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), причём \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно: при \(u = \sqrt[6]{a}\) и \(v = \sqrt[6]{b}\) знаменатель равен \(u^2 - uv + v^2 = \left(u - \frac{v}{2}\right)^2 + \frac{3v^2}{4}\) и обращается в нуль только при \(u = v = 0\).

По теоремам о корне из степени, о степени корня и о корне из произведения \(\sqrt{a} = \sqrt[6]{a^3} = \left(\sqrt[6]{a}\right)^3\), \(\sqrt[3]{a} = \sqrt[6]{a^2} = \left(\sqrt[6]{a}\right)^2\) и \(\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}\), поэтому числитель раскладывается по формуле суммы кубов: \[\sqrt{a} + \sqrt{b} = \left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}\right).\]

Сокращая дробь на второй множитель, получаем \(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\).

6) Так как \(2 = \left(\sqrt[3]{2}\right)^3\), числитель равен \(\sqrt[3]{2}\left(\left(\sqrt[3]{2}\right)^2 - 1\right) = \sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4} - 1\right)\). Значит, \[\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4} - 1\right)}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4} - 1.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\); 2) \(\sqrt[12]{x} - 3\); 3) \(-\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}\); 4) \(\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}\); 5) \(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\); 6) \(\sqrt[3]{4} - 1\).