Вопросы после параграфа §12 на страницах 97-98, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа

Теорем о корне из степени две.

Первая: для любого \(a \in \mathbf{R}\) и любого \(k \in \mathbf{N}\) выполняются равенства \(\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a\) и \(\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|\). Корень нечётной степени из нечётной степени числа равен самому этому числу, а корень чётной степени из чётной степени числа равен модулю этого числа: \(\sqrt[3]{(-2)^3} = -2\), но \(\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2\).

Вторая: если \(a \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(k \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{a}\). Показатель корня и показатель степени подкоренного выражения можно сократить на общий множитель, но только при неотрицательном основании: \(\sqrt[6]{7^2} = \sqrt[3]{7}\), а при произвольном \(a\) верно лишь \(\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{|a|}\).

Ответ: для любого \(a \in \mathbf{R}\) и любого \(k \in \mathbf{N}\) верно \(\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a\) и \(\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|\); если \(a \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(k \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{a}\).

Если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\), то есть корень \(n\)-й степени из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней \(n\)-й степени из этих множителей.

Неотрицательность обоих множителей обязательна. Для двух неположительных множителей из теоремы следует другое равенство: если \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\), то \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{-a} \cdot \sqrt[n]{-b}\).

Например, \(\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 6\), а для отрицательных множителей \(\sqrt[4]{(-16)(-81)} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{81} = 6\), потому что записи \(\sqrt[4]{-16}\) не существует.

Ответ: если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\); если \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\), то \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{-a} \cdot \sqrt[n]{-b}\).

Если \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\), то есть корень \(n\)-й степени из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен дроби, числитель которой — корень \(n\)-й степени из числителя, а знаменатель — корень \(n\)-й степени из знаменателя.

Если же \(a \leqslant 0\) и \(b < 0\), то \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{-a}}{\sqrt[n]{-b}}\).

Например, \(\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}\).

Ответ: если \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\); если \(a \leqslant 0\) и \(b < 0\), то \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{-a}}{\sqrt[n]{-b}}\).

Если \(a \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(k \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}\), то есть чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Неотрицательность подкоренного выражения обязательна: например, \(\sqrt[4]{(-3)^2} = \sqrt[4]{9}\), а выражение \(\left(\sqrt[4]{-3}\right)^2\) смысла не имеет. Пример применения теоремы: \(\left(\sqrt[5]{3}\right)^2 = \sqrt[5]{9}\).

Ответ: если \(a \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(k \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), то \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}\).

Если \(a \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(k \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), \(k > 1\), то \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}\), то есть корень из корня равен корню, показатель которого равен произведению показателей данных корней.

Например, \(\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\).

Ответ: если \(a \geqslant 0\), \(n \in \mathbf{N}\), \(k \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), \(k > 1\), то \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}\).