Страница 92 номер 11.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(y = \sqrt[4]{x} - 4\); 2) \(y = \sqrt[5]{x} - 2\); 3) \(y = \left|\sqrt[7]{x} + 1\right|\).
1) Показатель корня чётный, поэтому \(\sqrt[4]{x}\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\) и только их: \(x = a^4\) — корень уравнения \(\sqrt[4]{x} = a\) при \(a \geqslant 0\), а при \(a < 0\) корней нет. Каждое значение уменьшается на 4, поэтому \(E(y) = [-4;\ +\infty)\).
2) Показатель корня нечётный, поэтому \(\sqrt[5]{x}\) принимает все действительные значения: \(x = a^5\) — корень уравнения \(\sqrt[5]{x} = a\) при любом \(a\). Тогда и разность \(\sqrt[5]{x} - 2\) принимает все действительные значения: \(E(y) = \mathbf{R}\).
3) Выражение \(\sqrt[7]{x}\), а значит, и сумма \(\sqrt[7]{x} + 1\) принимают все действительные значения.
Модуль неотрицателен, поэтому \(y \geqslant 0\); каждое \(a \geqslant 0\) достигается при \(\sqrt[7]{x} + 1 = a\), то есть при \(x = (a - 1)^7\). \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-4;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\); 3) \([0;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции: 1) \(y = \sqrt[4]{x} - 4\); 2) \(y = \sqrt[5]{x} - 2\); 3) \(y = \left|\sqrt[7]{x} + 1\right|\).
1) Показатель корня чётный, поэтому выражение \(\sqrt[4]{x}\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\) и только их: уравнение \(\sqrt[4]{x} = a\) при \(a \geqslant 0\) имеет корень \(x = a^4\), а при \(a < 0\) корней не имеет.
Вычитание числа 4 уменьшает каждое из этих значений на 4, поэтому \(E(y) = [-4;\ +\infty)\).
2) Показатель корня нечётный, поэтому выражение \(\sqrt[5]{x}\) принимает все действительные значения: уравнение \(\sqrt[5]{x} = a\) при любом \(a\) имеет корень \(x = a^5\).
Тогда и разность \(\sqrt[5]{x} - 2\) принимает все действительные значения, то есть \(E(y) = \mathbf{R}\).
3) Выражение \(\sqrt[7]{x}\) принимает все действительные значения, поэтому сумма \(\sqrt[7]{x} + 1\) также принимает все действительные значения.
Модуль любого числа неотрицателен, поэтому \(y \geqslant 0\). С другой стороны, каждое значение \(a \geqslant 0\) функция принимает: равенство \(\left|\sqrt[7]{x} + 1\right| = a\) выполняется при \(\sqrt[7]{x} + 1 = a\), то есть при \(x = (a - 1)^7\).
Значит, \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-4;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\); 3) \([0;\ +\infty)\).
