Страница 92 номер 11.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(y = \sqrt[6]{x} - 2\); 2) \(y = \sqrt[3]{x} - 3\); 3) \(y = \left|\sqrt[8]{x} - 1\right|\).
1) Показатель корня чётный, поэтому \(\sqrt[6]{x}\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\) и только их: \(x = a^6\) — корень уравнения \(\sqrt[6]{x} = a\) при \(a \geqslant 0\), а при \(a < 0\) корней нет. Каждое значение уменьшается на 2, поэтому \(E(y) = [-2;\ +\infty)\).
2) Показатель корня нечётный, поэтому \(\sqrt[3]{x}\) принимает все действительные значения: \(x = a^3\) — корень уравнения \(\sqrt[3]{x} = a\) при любом \(a\). Тогда и разность \(\sqrt[3]{x} - 3\) принимает все действительные значения: \(E(y) = \mathbf{R}\).
3) \(\sqrt[8]{x}\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\), поэтому \(\sqrt[8]{x} - 1\) — все значения промежутка \([-1;\ +\infty)\).
Модуль неотрицателен, поэтому \(y \geqslant 0\); каждое \(a \geqslant 0\) достигается при \(\sqrt[8]{x} = 1 + a\), то есть при \(x = (1 + a)^8\). \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-2;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\); 3) \([0;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции: 1) \(y = \sqrt[6]{x} - 2\); 2) \(y = \sqrt[3]{x} - 3\); 3) \(y = \left|\sqrt[8]{x} - 1\right|\).
1) Показатель корня чётный, поэтому выражение \(\sqrt[6]{x}\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\) и только их: уравнение \(\sqrt[6]{x} = a\) при \(a \geqslant 0\) имеет корень \(x = a^6\), а при \(a < 0\) корней не имеет.
Вычитание числа 2 уменьшает каждое из этих значений на 2, поэтому \(y\) принимает все значения промежутка \([-2;\ +\infty)\), то есть \(E(y) = [-2;\ +\infty)\).
2) Показатель корня нечётный, поэтому выражение \(\sqrt[3]{x}\) принимает все действительные значения: уравнение \(\sqrt[3]{x} = a\) при любом \(a\) имеет корень \(x = a^3\).
Тогда и разность \(\sqrt[3]{x} - 3\) принимает все действительные значения, то есть \(E(y) = \mathbf{R}\).
3) Выражение \(\sqrt[8]{x}\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\), поэтому разность \(\sqrt[8]{x} - 1\) принимает все значения промежутка \([-1;\ +\infty)\).
Модуль любого числа неотрицателен, поэтому \(y \geqslant 0\). С другой стороны, каждое значение \(a \geqslant 0\) функция принимает: равенство \(\left|\sqrt[8]{x} - 1\right| = a\) выполняется при \(\sqrt[8]{x} = 1 + a\), то есть при \(x = (1 + a)^8\).
Значит, \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-2;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\); 3) \([0;\ +\infty)\).
