Страница 92 номер 11.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = \sqrt[4]{x - 2}\); 2) \(y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}\); 3) \(y = \sqrt[10]{|x|(x - 6)}\).
1) \(x - 2 \geqslant 0\) — показатель корня чётный; отсюда \(x \geqslant 2\). \(D(y) = [2;\ +\infty)\).
2) \(x^2 - 4x + 3 \geqslant 0\) — показатель корня чётный. Нули трёхчлена — числа 1 и 3, ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен при \(x \leqslant 1\) и при \(x \geqslant 3\). \(D(y) = (-\infty;\ 1] \cup [3;\ +\infty)\).
3) \(|x|(x - 6) \geqslant 0\) — показатель корня чётный. Значение \(x = 0\) подходит: левая часть равна нулю. При \(x \ne 0\) имеем \(|x| > 0\), поэтому \(x - 6 \geqslant 0\), откуда \(x \geqslant 6\). \(D(y) = [6;\ +\infty) \cup \{0\}\).
Ответ: 1) \([2;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 1] \cup [3;\ +\infty)\); 3) \([6;\ +\infty) \cup \{0\}\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = \sqrt[4]{x - 2}\); 2) \(y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}\); 3) \(y = \sqrt[10]{|x|(x - 6)}\).
1) Показатель корня чётный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[x - 2 \geqslant 0.\]
Отсюда \(x \geqslant 2\).
Значит, \(D(y) = [2;\ +\infty)\).
2) Показатель корня чётный, поэтому \[x^2 - 4x + 3 \geqslant 0.\]
Нули квадратного трёхчлена \(x^2 - 4x + 3\) — числа 1 и 3, так как \(1 + 3 = 4\) и \(1 \cdot 3 = 3\). График трёхчлена — парабола с ветвями вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен при \(x \leqslant 1\) и при \(x \geqslant 3\).
Значит, \(D(y) = (-\infty;\ 1] \cup [3;\ +\infty)\).
3) Показатель корня чётный, поэтому \[|x|(x - 6) \geqslant 0.\]
При \(x = 0\) левая часть равна нулю, и это значение подходит.
При \(x \ne 0\) имеем \(|x| > 0\), поэтому неравенство равносильно неравенству \(x - 6 \geqslant 0\), откуда \(x \geqslant 6\).
Значит, \(D(y) = [6;\ +\infty) \cup \{0\}\).
Ответ: 1) \([2;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 1] \cup [3;\ +\infty)\); 3) \([6;\ +\infty) \cup \{0\}\).
