Страница 92 номер 11.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = \sqrt[3]{x - 1}\); 2) \(y = \sqrt[4]{|x| - 1}\); 3) \(y = \sqrt[6]{x^2(x - 3)}\).
1) \(\sqrt[3]{x - 1}\) имеет смысл при любом \(x\) — показатель корня нечётный. \(D(y) = \mathbf{R}\).
2) \(|x| - 1 \geqslant 0\) — показатель корня чётный; отсюда \(|x| \geqslant 1\), то есть \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 1\). \(D(y) = (-\infty;\ -1] \cup [1;\ +\infty)\).
3) \(x^2(x - 3) \geqslant 0\) — показатель корня чётный. Значение \(x = 0\) подходит: левая часть равна нулю. При \(x \ne 0\) имеем \(x^2 > 0\), поэтому \(x - 3 \geqslant 0\), откуда \(x \geqslant 3\). \(D(y) = [3;\ +\infty) \cup \{0\}\).
Ответ: 1) \(\mathbf{R}\); 2) \((-\infty;\ -1] \cup [1;\ +\infty)\); 3) \([3;\ +\infty) \cup \{0\}\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = \sqrt[3]{x - 1}\); 2) \(y = \sqrt[4]{|x| - 1}\); 3) \(y = \sqrt[6]{x^2(x - 3)}\).
1) Показатель корня нечётный, а корень нечётной степени существует из любого числа, поэтому выражение \(\sqrt[3]{x - 1}\) имеет смысл при любом \(x\).
Значит, \(D(y) = \mathbf{R}\).
2) Показатель корня чётный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[|x| - 1 \geqslant 0.\]
Отсюда \(|x| \geqslant 1\), то есть \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 1\).
Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -1] \cup [1;\ +\infty)\).
3) Показатель корня чётный, поэтому \[x^2(x - 3) \geqslant 0.\]
При \(x = 0\) левая часть равна нулю, и это значение подходит.
При \(x \ne 0\) имеем \(x^2 > 0\), поэтому неравенство равносильно неравенству \(x - 3 \geqslant 0\), откуда \(x \geqslant 3\).
Значит, \(D(y) = [3;\ +\infty) \cup \{0\}\).
Ответ: 1) \(\mathbf{R}\); 2) \((-\infty;\ -1] \cup [1;\ +\infty)\); 3) \([3;\ +\infty) \cup \{0\}\).
