Страница 94 номер 11.33, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(x^3 + 2 = 3\sqrt[3]{3x - 2}\).
Корень третьей степени существует из любого числа, поэтому уравнение определено при всех \(x\).
Пусть \(y = \sqrt[3]{3x - 2}\); корень третьей степени из числа единствен, поэтому это равносильно \(y^3 = 3x - 2\), а уравнение даёт \(x^3 + 2 = 3y\), то есть \(x^3 = 3y - 2\). Значит, \(\begin{cases} x^3 = 3y - 2, \\ y^3 = 3x - 2. \end{cases}\)
Если \(x > y\), то, так как функция \(t^3\) возрастающая, \(x^3 > y^3\), то есть \(3y - 2 > 3x - 2\), откуда \(y > x\) — противоречие; при \(x < y\) так же получаем \(y < x\). Значит, \(x = y\).
При \(x = y\) каждое уравнение системы даёт \(x^3 = 3x - 2\), то есть \(x^3 - 3x + 2 = 0\): \[x^3 - 3x + 2 = x^3 - x - 2x + 2 = x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = (x - 1)\left(x^2 + x - 2\right) = (x - 1)^2 (x + 2).\]
Отсюда \(x = 1\) или \(x = -2\).
Ответ: \(1\); \(-2\).
Решите уравнение \(x^3 + 2 = 3\sqrt[3]{3x - 2}\).
Корень третьей степени существует из любого числа, поэтому уравнение определено при всех \(x\).
Обозначим \(y = \sqrt[3]{3x - 2}\). Корень третьей степени из числа единствен, поэтому равенство \(y = \sqrt[3]{3x - 2}\) равносильно равенству \(y^3 = 3x - 2\). При этом обозначении данное уравнение принимает вид \(x^3 + 2 = 3y\), то есть \(x^3 = 3y - 2\). Значит, данное уравнение равносильно системе \(\begin{cases} x^3 = 3y - 2, \\ y^3 = 3x - 2. \end{cases}\)
Покажем, что \(x = y\). Предположим противное. Если \(x > y\), то, так как функция \(t^3\) возрастающая, \(x^3 > y^3\), то есть \(3y - 2 > 3x - 2\), откуда \(y > x\), — получили противоречие. Если \(x < y\), то \(x^3 < y^3\), то есть \(3y - 2 < 3x - 2\), откуда \(y < x\), — снова противоречие. Значит, \(x = y\).
При \(x = y\) каждое уравнение системы принимает вид \(x^3 = 3x - 2\), то есть \(x^3 - 3x + 2 = 0\). Разложим левую часть на множители: \[\begin{aligned} &x^3 - 3x + 2 = x^3 - x - 2x + 2 = {} \\ &= x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = {} \\ &= (x - 1)\left(x^2 + x - 2\right) = (x - 1)^2 (x + 2). \end{aligned}\]
Значит, \((x - 1)^2 (x + 2) = 0\), откуда \(x = 1\) или \(x = -2\).
Ответ: \(1\); \(-2\).
