Страница 94 номер 11.32, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}\).
Корень третьей степени существует из любого числа, поэтому уравнение определено при всех \(x\).
Пусть \(y = \sqrt[3]{2x - 1}\); корень третьей степени из числа единствен, поэтому это равносильно \(y^3 = 2x - 1\), а уравнение даёт \(x^3 + 1 = 2y\), то есть \(x^3 = 2y - 1\). Значит, \(\begin{cases} x^3 = 2y - 1, \\ y^3 = 2x - 1. \end{cases}\)
Если \(x > y\), то, так как функция \(t^3\) возрастающая, \(x^3 > y^3\), то есть \(2y - 1 > 2x - 1\), откуда \(y > x\) — противоречие; при \(x < y\) так же получаем \(y < x\). Значит, \(x = y\).
При \(x = y\) каждое уравнение системы даёт \(x^3 = 2x - 1\), то есть \(x^3 - 2x + 1 = 0\): \[x^3 - 2x + 1 = x^3 - x - x + 1 = x(x - 1)(x + 1) - (x - 1) = (x - 1)\left(x^2 + x - 1\right).\]
Отсюда \(x - 1 = 0\) или \(x^2 + x - 1 = 0\): из первого \(x = 1\); во втором \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5\), поэтому \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
Ответ: \(1\); \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\); \(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\).
Решите уравнение \(x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}\).
Корень третьей степени существует из любого числа, поэтому уравнение определено при всех \(x\).
Обозначим \(y = \sqrt[3]{2x - 1}\). Корень третьей степени из числа единствен, поэтому равенство \(y = \sqrt[3]{2x - 1}\) равносильно равенству \(y^3 = 2x - 1\). При этом обозначении данное уравнение принимает вид \(x^3 + 1 = 2y\), то есть \(x^3 = 2y - 1\). Значит, данное уравнение равносильно системе \(\begin{cases} x^3 = 2y - 1, \\ y^3 = 2x - 1. \end{cases}\)
Покажем, что \(x = y\). Предположим противное. Если \(x > y\), то, так как функция \(t^3\) возрастающая, \(x^3 > y^3\), то есть \(2y - 1 > 2x - 1\), откуда \(y > x\), — получили противоречие. Если \(x < y\), то \(x^3 < y^3\), то есть \(2y - 1 < 2x - 1\), откуда \(y < x\), — снова противоречие. Значит, \(x = y\).
При \(x = y\) каждое уравнение системы принимает вид \(x^3 = 2x - 1\), то есть \(x^3 - 2x + 1 = 0\). Разложим левую часть на множители: \[\begin{aligned} &x^3 - 2x + 1 = x^3 - x - x + 1 = {} \\ &= x(x - 1)(x + 1) - (x - 1) = {} \\ &= (x - 1)\left(x^2 + x - 1\right). \end{aligned}\]
Значит, \((x - 1)\left(x^2 + x - 1\right) = 0\), откуда \(x - 1 = 0\) или \(x^2 + x - 1 = 0\).
Из первого уравнения \(x = 1\). Второе уравнение имеет дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5\), поэтому его корни равны \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
Ответ: \(1\); \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\); \(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\).
