Страница 94 номер 11.31, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите целую часть числа \(\underbrace{\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{\ldots + \sqrt[4]{14}}}}}_{200\ \text{радикалов}}\).
Обозначим числа, получающиеся при последовательном добавлении радикалов, начиная с внутреннего: \[a_1 = \sqrt[4]{14}, \quad a_2 = \sqrt[4]{14 + a_1}, \quad \ldots, \quad a_{k + 1} = \sqrt[4]{14 + a_k}, \quad \ldots\]
Данное число — это \(a_{200}\).
Так как \(1 < 14 < 16\) и функция \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{14} < \sqrt[4]{16}\), то есть \(1 < a_1 < 2\).
Пусть \(1 < a_k < 2\). Тогда \(15 < 14 + a_k < 16\), откуда \(\sqrt[4]{15} < a_{k + 1} < \sqrt[4]{16}\), а \(\sqrt[4]{15} > \sqrt[4]{1} = 1\), поэтому \(1 < a_{k + 1} < 2\).
Значит, последовательно получаем \(1 < a_2 < 2\), \(1 < a_3 < 2\) и так далее, вплоть до \(1 < a_{200} < 2\), поэтому целая часть числа \(a_{200}\) равна \(1\).
Ответ: \(1\).
Найдите целую часть числа \(\underbrace{\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{\ldots + \sqrt[4]{14}}}}}_{200\ \text{радикалов}}\).
Обозначим через \(a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{200}\) числа, которые получаются при последовательном добавлении радикалов, начиная с внутреннего: \[a_1 = \sqrt[4]{14}, \quad a_2 = \sqrt[4]{14 + a_1}, \quad \ldots, \quad a_{k + 1} = \sqrt[4]{14 + a_k}, \quad \ldots\]
Данное число — это \(a_{200}\).
Покажем, что каждое из чисел \(a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{200}\) больше \(1\), но меньше \(2\).
Так как \(1 < 14 < 16\) и функция \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{14} < \sqrt[4]{16}\), то есть \(1 < a_1 < 2\).
Пусть для некоторого числа \(a_k\) выполняется двойное неравенство \(1 < a_k < 2\). Тогда \(15 < 14 + a_k < 16\), и, снова пользуясь возрастанием функции \(y = \sqrt[4]{t}\), получаем \(\sqrt[4]{15} < a_{k + 1} < \sqrt[4]{16}\). Кроме того, \(\sqrt[4]{15} > \sqrt[4]{1} = 1\), поэтому \(1 < a_{k + 1} < 2\).
Значит, из неравенства \(1 < a_1 < 2\) последовательно получаем \(1 < a_2 < 2\), затем \(1 < a_3 < 2\) и так далее, вплоть до \(1 < a_{200} < 2\).
Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного. Из неравенства \(1 < a_{200} < 2\) следует, что целая часть числа \(a_{200}\) равна \(1\).
Ответ: \(1\).
