Страница 94 номер 11.30, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите целую часть числа \(\underbrace{\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{\ldots + \sqrt[3]{24}}}}}_{100\ \text{радикалов}}\).
Обозначим числа, получающиеся при последовательном добавлении радикалов, начиная с внутреннего: \[a_1 = \sqrt[3]{24}, \quad a_2 = \sqrt[3]{24 + a_1}, \quad \ldots, \quad a_{k + 1} = \sqrt[3]{24 + a_k}, \quad \ldots\]
Данное число — это \(a_{100}\).
Так как \(8 < 24 < 27\) и функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{27}\), то есть \(2 < a_1 < 3\).
Пусть \(2 < a_k < 3\). Тогда \(26 < 24 + a_k < 27\), откуда \(\sqrt[3]{26} < a_{k + 1} < \sqrt[3]{27}\), а \(\sqrt[3]{26} > \sqrt[3]{8} = 2\), поэтому \(2 < a_{k + 1} < 3\).
Значит, последовательно получаем \(2 < a_2 < 3\), \(2 < a_3 < 3\) и так далее, вплоть до \(2 < a_{100} < 3\), поэтому целая часть числа \(a_{100}\) равна \(2\).
Ответ: \(2\).
Найдите целую часть числа \(\underbrace{\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{\ldots + \sqrt[3]{24}}}}}_{100\ \text{радикалов}}\).
Обозначим через \(a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{100}\) числа, которые получаются при последовательном добавлении радикалов, начиная с внутреннего: \[a_1 = \sqrt[3]{24}, \quad a_2 = \sqrt[3]{24 + a_1}, \quad \ldots, \quad a_{k + 1} = \sqrt[3]{24 + a_k}, \quad \ldots\]
Данное число — это \(a_{100}\).
Покажем, что каждое из чисел \(a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{100}\) больше \(2\), но меньше \(3\).
Так как \(8 < 24 < 27\) и функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{27}\), то есть \(2 < a_1 < 3\).
Пусть для некоторого числа \(a_k\) выполняется двойное неравенство \(2 < a_k < 3\). Тогда \(26 < 24 + a_k < 27\), и, снова пользуясь возрастанием функции \(y = \sqrt[3]{t}\), получаем \(\sqrt[3]{26} < a_{k + 1} < \sqrt[3]{27}\). Кроме того, \(\sqrt[3]{26} > \sqrt[3]{8} = 2\), поэтому \(2 < a_{k + 1} < 3\).
Значит, из неравенства \(2 < a_1 < 3\) последовательно получаем \(2 < a_2 < 3\), затем \(2 < a_3 < 3\) и так далее, вплоть до \(2 < a_{100} < 3\).
Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного. Из неравенства \(2 < a_{100} < 3\) следует, что целая часть числа \(a_{100}\) равна \(2\).
Ответ: \(2\).
