Страница 93 номер 11.29, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases}\)
\(\sqrt[5]{x}\) и \(\sqrt[5]{y}\) имеют смысл при любых \(x\) и \(y\): корень нечётной степени существует из любого числа.
Функция \(f(t) = t + \sqrt[5]{t}\), \(D(f) = \mathbf{R}\), возрастает: при \(t_1 < t_2\) имеем \(\sqrt[5]{t_1} < \sqrt[5]{t_2}\), и, складывая с \(t_1 < t_2\), получаем \(f(t_1) < f(t_2)\).
Первое уравнение системы — это \(f(x) = f(y)\); при \(x < y\) было бы \(f(x) < f(y)\), при \(x > y\) — \(f(x) > f(y)\), что противоречит равенству. Значит, \(x = y\).
Подставим \(y = x\) во второе уравнение: \(x^2 + x^2 = 2\), \(2x^2 = 2\), \(x^2 = 1\), откуда \(x = 1\) или \(x = -1\).
При \(x = 1\) получаем \(y = 1\), при \(x = -1\) получаем \(y = -1\).
Ответ: \((1;\ 1)\), \((-1;\ -1)\).
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases}\)
Выражения \(\sqrt[5]{x}\) и \(\sqrt[5]{y}\) имеют смысл при любых значениях \(x\) и \(y\), так как корень нечётной степени существует из любого числа.
Рассмотрим функцию \(f(t) = t + \sqrt[5]{t}\), \(D(f) = \mathbf{R}\), и покажем, что она возрастает. Пусть \(t_1 < t_2\). Так как функция \(y = \sqrt[5]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[5]{t_1} < \sqrt[5]{t_2}\); складывая это неравенство с неравенством \(t_1 < t_2\), получаем \(f(t_1) < f(t_2)\).
Первое уравнение системы имеет вид \(f(x) = f(y)\). Если бы выполнялось \(x < y\), то \(f(x) < f(y)\), что противоречит равенству; если бы выполнялось \(x > y\), то \(f(x) > f(y)\), что тоже противоречит равенству. Значит, \(x = y\).
Подставим \(y = x\) во второе уравнение системы: \(x^2 + x^2 = 2\), \(2x^2 = 2\), \(x^2 = 1\). Отсюда \(x = 1\) или \(x = -1\).
При \(x = 1\) получаем \(y = 1\), при \(x = -1\) получаем \(y = -1\).
Ответ: \((1;\ 1)\), \((-1;\ -1)\).
