Страница 93 номер 11.28, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y}, \\ x^2 + xy + y^2 = 27. \end{cases}\)
\(\sqrt[6]{x}\) и \(\sqrt[6]{y}\) имеют смысл при \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\).
Функция \(f(t) = t + \sqrt[6]{t}\), \(D(f) = [0;\ +\infty)\), возрастает: при \(0 \leqslant t_1 < t_2\) имеем \(\sqrt[6]{t_1} < \sqrt[6]{t_2}\), и, складывая с \(t_1 < t_2\), получаем \(f(t_1) < f(t_2)\).
Первое уравнение системы — это \(f(x) = f(y)\); при \(x < y\) было бы \(f(x) < f(y)\), при \(x > y\) — \(f(x) > f(y)\), что противоречит равенству. Значит, \(x = y\).
Подставим \(y = x\) во второе уравнение: \[\begin{gathered} x^2 + x \cdot x + x^2 = 27, \\ 3x^2 = 27, \\ x^2 = 9. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = 3\) или \(x = -3\); условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 3\), и тогда \(y = 3\).
Ответ: \((3;\ 3)\).
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y}, \\ x^2 + xy + y^2 = 27. \end{cases}\)
Выражения \(\sqrt[6]{x}\) и \(\sqrt[6]{y}\) имеют смысл при \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\).
Рассмотрим функцию \(f(t) = t + \sqrt[6]{t}\), \(D(f) = [0;\ +\infty)\), и покажем, что она возрастает. Пусть \(0 \leqslant t_1 < t_2\). Так как функция \(y = \sqrt[6]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[6]{t_1} < \sqrt[6]{t_2}\); складывая это неравенство с неравенством \(t_1 < t_2\), получаем \(f(t_1) < f(t_2)\).
Первое уравнение системы имеет вид \(f(x) = f(y)\). Если бы выполнялось \(x < y\), то из возрастания функции \(f\) следовало бы \(f(x) < f(y)\), что противоречит равенству. Если бы выполнялось \(x > y\), то \(f(x) > f(y)\), что тоже противоречит равенству. Значит, \(x = y\).
Подставим \(y = x\) во второе уравнение системы: \[\begin{gathered} x^2 + x \cdot x + x^2 = 27, \\ 3x^2 = 27, \\ x^2 = 9. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = 3\) или \(x = -3\). Условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 3\), и тогда \(y = 3\).
Ответ: \((3;\ 3)\).
