Страница 93 номер 11.27, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[3]{x - 9} + \sqrt[4]{x + 6} = 3\).
\(\sqrt[3]{x - 9}\) имеет смысл при любом \(x\), а \(\sqrt[4]{x + 6}\) — при \(x \geqslant -6\), поэтому для \(f(x) = \sqrt[3]{x - 9} + \sqrt[4]{x + 6}\) имеем \(D(f) = [-6;\ +\infty)\).
Пусть \(x_1 < x_2\) из этого промежутка. Тогда \(x_1 - 9 < x_2 - 9\) и \(x_1 + 6 < x_2 + 6\), а функции \(y = \sqrt[3]{t}\) и \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастают, поэтому \(\sqrt[3]{x_1 - 9} < \sqrt[3]{x_2 - 9}\) и \(\sqrt[4]{x_1 + 6} < \sqrt[4]{x_2 + 6}\); складывая, получаем \(f(x_1) < f(x_2)\).
Значит, \(f\) возрастает и каждое своё значение принимает при одном значении аргумента, поэтому корней не более одного.
Подбором: \(f(10) = \sqrt[3]{10 - 9} + \sqrt[4]{10 + 6} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[4]{16} = 1 + 2 = 3\), значит, \(x = 10\) — единственный корень.
Ответ: \(10\).
Решите уравнение \(\sqrt[3]{x - 9} + \sqrt[4]{x + 6} = 3\).
Выражение \(\sqrt[3]{x - 9}\) имеет смысл при любом \(x\), а выражение \(\sqrt[4]{x + 6}\) — при \(x + 6 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -6\). Значит, левая часть уравнения определена на промежутке \([-6;\ +\infty)\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = \sqrt[3]{x - 9} + \sqrt[4]{x + 6}\), \(D(f) = [-6;\ +\infty)\), и покажем, что она возрастает.
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — числа из промежутка \([-6;\ +\infty)\), причём \(x_1 < x_2\). Тогда \(x_1 - 9 < x_2 - 9\) и \(x_1 + 6 < x_2 + 6\), а так как функции \(y = \sqrt[3]{t}\) и \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастающие, то \(\sqrt[3]{x_1 - 9} < \sqrt[3]{x_2 - 9}\) и \(\sqrt[4]{x_1 + 6} < \sqrt[4]{x_2 + 6}\). Складывая эти неравенства, получаем \(f(x_1) < f(x_2)\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([-6;\ +\infty)\), а возрастающая функция каждое своё значение принимает только при одном значении аргумента. Поэтому уравнение \(f(x) = 3\) имеет не более одного корня.
Подбором находим этот корень: \(f(10) = \sqrt[3]{10 - 9} + \sqrt[4]{10 + 6} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[4]{16} = 1 + 2 = 3\).
Значит, \(x = 10\) — единственный корень данного уравнения.
Ответ: \(10\).
