Страница 93 номер 11.26, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x} = 4\).
\(\sqrt[4]{x - 26}\) имеет смысл при \(x \geqslant 26\), а \(\sqrt[3]{x}\) — при любом \(x\), поэтому для \(f(x) = \sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x}\) имеем \(D(f) = [26;\ +\infty)\).
Пусть \(x_1 < x_2\) из этого промежутка. Тогда \(x_1 - 26 < x_2 - 26\), а функции \(y = \sqrt[4]{t}\) и \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастают, поэтому \(\sqrt[4]{x_1 - 26} < \sqrt[4]{x_2 - 26}\) и \(\sqrt[3]{x_1} < \sqrt[3]{x_2}\); складывая, получаем \(f(x_1) < f(x_2)\).
Значит, \(f\) возрастает и каждое своё значение принимает при одном значении аргумента, поэтому корней не более одного.
Подбором: \(f(27) = \sqrt[4]{27 - 26} + \sqrt[3]{27} = \sqrt[4]{1} + 3 = 1 + 3 = 4\), значит, \(x = 27\) — единственный корень.
Ответ: \(27\).
Решите уравнение \(\sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x} = 4\).
Выражение \(\sqrt[4]{x - 26}\) имеет смысл при \(x - 26 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 26\), а выражение \(\sqrt[3]{x}\) имеет смысл при любом \(x\). Значит, левая часть уравнения определена на промежутке \([26;\ +\infty)\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = \sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x}\), \(D(f) = [26;\ +\infty)\), и покажем, что она возрастает.
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — числа из промежутка \([26;\ +\infty)\), причём \(x_1 < x_2\). Тогда \(x_1 - 26 < x_2 - 26\), а так как функция \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[4]{x_1 - 26} < \sqrt[4]{x_2 - 26}\). Функция \(y = \sqrt[3]{t}\) также возрастающая, поэтому \(\sqrt[3]{x_1} < \sqrt[3]{x_2}\). Складывая эти неравенства, получаем \(f(x_1) < f(x_2)\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([26;\ +\infty)\), а возрастающая функция каждое своё значение принимает только при одном значении аргумента. Поэтому уравнение \(f(x) = 4\) имеет не более одного корня.
Подбором находим этот корень: \(f(27) = \sqrt[4]{27 - 26} + \sqrt[3]{27} = \sqrt[4]{1} + 3 = 1 + 3 = 4\).
Значит, \(x = 27\) — единственный корень данного уравнения.
Ответ: \(27\).
