Страница 93 номер 11.25, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
В зависимости от значения параметра \(a\) определите количество корней уравнения: 1) \((x + 1)\sqrt[4]{x - a} = 0\); 2) \((x - 1)(\sqrt[4]{x} - a) = 0\).
1) ОДЗ: \(x - a \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant a\); при этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x = -1, \\ x = a. \end{array}\right.\)
Число \(a\) условию удовлетворяет — это корень при любом \(a\). Число \(-1\) — корень тогда и только тогда, когда \(-1 \geqslant a\), то есть при \(a \leqslant -1\); при \(a = -1\) оно совпадает с корнем \(a\), при \(a < -1\) отлично от него.
Значит, при \(a \geqslant -1\) один корень \(x = a\), при \(a < -1\) два корня: \(x = a\) и \(x = -1\).
2) ОДЗ: \(x \geqslant 0\); уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x - 1 = 0, \\ \sqrt[4]{x} - a = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = 1\); условию удовлетворяет — это корень при любом \(a\).
Второе уравнение: \(\sqrt[4]{x} = a\). Арифметический корень неотрицателен, поэтому при \(a < 0\) корней нет; при \(a \geqslant 0\) получаем единственное значение \(x = a^4\), удовлетворяющее условию \(x \geqslant 0\). При \(a = 1\) этот корень совпадает с корнем \(1\), при \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\) отличен от него.
Значит, при \(a < 0\) один корень \(x = 1\); при \(a = 1\) тоже один корень \(x = 1\); при \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\) два корня: \(x = 1\) и \(x = a^4\).
Ответ: 1) если \(a \geqslant -1\), то один корень; если \(a < -1\), то два корня; 2) если \(a < 0\) или \(a = 1\), то один корень; если \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\), то два корня.
В зависимости от значения параметра \(a\) определите количество корней уравнения: 1) \((x + 1)\sqrt[4]{x - a} = 0\); 2) \((x - 1)(\sqrt[4]{x} - a) = 0\).
1) Выражение \(\sqrt[4]{x - a}\) имеет смысл при \(x - a \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant a\). При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x + 1 = 0, \\ \sqrt[4]{x - a} = 0; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = -1, \\ x = a. \end{array}\right.\)
Число \(a\) удовлетворяет условию \(x \geqslant a\), поэтому оно является корнем уравнения при любом значении \(a\).
Число \(-1\) является корнем тогда и только тогда, когда \(-1 \geqslant a\), то есть при \(a \leqslant -1\). При \(a = -1\) оно совпадает с уже найденным корнем \(a\), а при \(a < -1\) отлично от него.
Значит, при \(a \geqslant -1\) уравнение имеет один корень \(x = a\), а при \(a < -1\) — два корня: \(x = a\) и \(x = -1\).
2) Выражение \(\sqrt[4]{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\). При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x - 1 = 0, \\ \sqrt[4]{x} - a = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = 1\); это число удовлетворяет условию \(x \geqslant 0\), поэтому оно является корнем уравнения при любом значении \(a\).
Второе уравнение имеет вид \(\sqrt[4]{x} = a\). Арифметический корень неотрицателен, поэтому при \(a < 0\) это уравнение корней не имеет. При \(a \geqslant 0\) по определению арифметического корня получаем единственное значение \(x = a^4\), и оно удовлетворяет условию \(x \geqslant 0\). При \(a = 1\) этот корень совпадает с корнем \(1\), а при \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\) отличен от него.
Значит, при \(a < 0\) уравнение имеет один корень \(x = 1\); при \(a = 1\) — тоже один корень \(x = 1\); при \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\) — два корня: \(x = 1\) и \(x = a^4\).
Ответ: 1) если \(a \geqslant -1\), то один корень; если \(a < -1\), то два корня; 2) если \(a < 0\) или \(a = 1\), то один корень; если \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 1\), то два корня.
